Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 31447 986345 913637 2026-09-08T07:09:28Z ~2026-48768-93 80956 /* Opérations k fois transitives */ définition alternative de la k-transitivité 986345 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 33 | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] | page_liée = Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives }} On va exposer ici quelques notions sur les opérations transitives, les opérations ''n'' fois transitives et les opérations primitives d'un groupe sur un ensemble. On se limitera à quelques énoncés qui permettront de résoudre dans un chapitre suivant la question de la simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs. Quelques compléments seront donnés en exercice. == Rappels == Si un groupe G opère sur un ensemble X, si H est un sous-groupe de G, l'opération de G induit de façon évidente une opération de H sur X. C'est toujours de cette opération qu’il s'agira quand nous parlerons d'une opération de H sans préciser laquelle. {{Définition | contenu = Le '''noyau''' d'une action d'un groupe G sur un ensemble X est le noyau de l'homomorphisme de G dans S_X associé à cette action<ref>Définition conforme à Marc Hindry, Université Paris 7, Cours d’algèbre au magistère de Cachan, [http://www.math.jussieu.fr/~hindry/Cours-alg.pdf en ligne], p. 6.</ref>. C'est donc l’ensemble des éléments de G qui fixent tous les éléments de X. }} {{Définition | contenu = Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme correspondant de G dans S_X est injectif. Cela revient à dire que le noyau de cette action est réduit à l'élément neutre de G, autrement dit que le seul élément de G qui fixe tout point de X est l'élément neutre. }} {{Théorème | contenu = Soit G un groupe opérant sur un ensemble X, soit K le noyau de cette opération. Il existe une et une seule opération de G/K sur X telle que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>(gK)x = gx.</math></div> Cette opération est fidèle. }} Démonstration. Appliquer le premier théorème d'isomorphisme à l'homomorphisme de G dans S_X associé à l'opération de G sur X. {{Définition | contenu = Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. Cela revient à dire que X n’est pas vide et que, pour tous éléments ''x'', ''y'' de X, il existe un élément ''g'' de G tel que gx = y. }} Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. {{Théorème | contenu = Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Si deux points x, y de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans G sont conjugués dans G. Plus précisément, [[../Exercices/Action de groupe#Problème 3|si g est un élément de G tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}]]. }} == Opérations k fois transitives == {{Définition | contenu = Soit G un groupe opérant sur un ensemble X, soit ''k'' un nombre naturel. On dit que G opère k-transitivement sur X, ou encore que l'opération de G sur X est k-transitive, ou encore que le G-ensemble X est k-transitif, et même chose avec « k fois transitif » au lieu de « k-transitif » etc., si les deux conditions suivantes sont satisfaites : a) <math>\vert X \vert \geq k</math>;<br /> b) pour tout k-uplet <math>(x_{1}, \ldots x_{k})</math> d'éléments de X deux à deux distincts et pour tout k-uplet <math>(y_{1}, \ldots y_{k})</math> d'éléments de X deux à deux distincts, il existe un élément ''g'' de G tel que, pour tout ''i'' (<math>1 \leq i \leq k</math>), on ait <math>\ gx_{i} = y_{i}</math>. }} Il est clair qu'un G-ensemble est 1-transitif si et seulement s'il est transitif. Remarque. Pour un ensemble X et un nombre naturel ''k'', désignons par <math>X^{[k]}</math> l'ensemble des k-uplets d'éléments deux à deux distincts de X. (Cet ensemble peut être assimilé à l'ensemble des injections de l'ensemble <math>\{1, \ldots k\}</math> dans l'ensemble X.) Pour tout nombre naturel ''k'', une action d'un groupe G sur un ensemble X induit une action de G sur <math>X^{[k]}</math> définie par <math>g(x_1, ..., x_k) = (gx_1, ..., gx_k)</math>. L'action du groupe G sur X est k-transitive si et seulement si l'action en question de G sur l'ensemble <math>X^{[k]}</math> est transitive. C'est par cette dernière propriété que D.J.S. Robinson<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, pp. 192-193.</ref> définit une action k-transitive d'un groupe sur un ensemble. == Opérations primitives == {{Définition | contenu = Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Une partie B de X est appelée un '''bloc''' de cette opération si, pour tout élément ''g'' de G, B et gB sont égaux ou disjoints. }} Il est clair que l’ensemble vide, les parties de X à un élément et X lui-même sont des blocs relativement à n’importe quelle opération de groupe sur X. {{Définition | contenu = Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. L'ensemble vide, les parties de X à un élément et X lui-même sont appelés les '''blocs triviaux''' de cette opération. }} {{Définition | contenu = Une opération d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''primitive''' si elle est transitive et qu'elle n'a pour blocs que les blocs triviaux. }} {{Théorème | contenu = Toute opération deux fois transitive d'un groupe sur un ensemble est primitive. }} Démonstration. Soit G un groupe opérant de façon deux fois transitive sur un ensemble X. Soit B une partie de X distincte de X et comptant au moins deux éléments. Il s'agit de prouver que B n’est pas un bloc de l'opération en question. Par hypothèse sur B, nous pouvons choisir deux éléments distincts ''x'' et ''y'' dans B et un élément ''z'' de X qui n'appartient pas à B. Puisque l'opération de G sur X est deux fois transitive, il existe un élément ''g'' de G tel que gx = y et gy = z. Alors B et gB ne sont pas disjoints (car ils comprennent tous deux ''y'') et ils ne sont pas égaux (car gB comprend ''z'', qui n'appartient pas à B), donc B n’est pas un bloc. {{Lemme | contenu = Soient G un groupe opérant sur un ensemble X, soit H un sous-groupe normal de G, alors les H''x'', où ''x'' parcourt X, sont des blocs. }} Démonstration. Soit ''x'' un élément de X, prouvons que Hx est un bloc. Pour tout élément ''g'' de G, nous avons gH = Hg (puisque H est sous-groupe normal de G), d'où gHx = Hgx. Si <math>\ gHx \cap Hx \ne\varnothing</math> on a donc <math>\ Hgx \cap Hx\ne\varnothing</math>, d'où (comme deux orbites pour l'action de H sont égales ou disjointes) Hgx = Hx, autrement dit gHx = Hx, ce qui prouve que Hx est un bloc. {{Théorème | contenu = Soit G un groupe opérant primitivement sur un ensemble X, soit H un sous-groupe normal de G non contenu dans le noyau de cette opération. Alors l'opération de H sur X est transitive. }} Démonstration. Puisque, par définition, une opération primitive est transitive, l'opération de G est transitive, donc X n’est pas vide. Il reste à prouver que, pour tout élément ''x'' de X, H''x'' = X. D'après le lemme précédent, H''x'' est un bloc de l'opération de G sur X. Puisque l'opération de G est supposée primitive, il suffit donc de prouver que H''x'' a au moins deux éléments. Puisque H n'est pas inclus dans le noyau de l'opération, il contient un élément ''h'' qui ne fixe pas un élément ''y'' de X. Puisque G agit transitivement, il contient un élément ''g'' tel que ''y = gx''. On a alors ''hgx'' ≠ ''gx'', autrement dit ''kx'' ≠ ''x'' pour ''k = g''{{exp|–1}}''hg'', élément de H car H est normal dans G. Ainsi, H''x'' contient au moins deux éléments : ''x'' et ''kx''. {{Lemme | titre = Énoncé préparatoire | contenu = Soient G un groupe, soient H, S des sous-groupes de G tels que G = HS. Si K est un sous-groupe normal de S dont les conjugués dans G engendrent G, alors G est engendré par H et K. Si, de plus, H est normal dans G et K commutatif, alors H contient le dérivé de G. }} Démonstration. D'après les hypothèses, G est engendré par <div style="text-align: center;"><math>\cup_{g\in G}gKg^{-1}=\cup_{h\in H,s\in S}hsKs^{-1}h^{-1}=\cup_{h\in H}hKh^{-1}</math></div> donc par H et K. Si de plus H est normal dans G, on en déduit G = HK. D'après le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Les trois théorèmes d'isomorphisme|second théorème d'isomorphisme]], G/H est donc isomorphe à un quotient de K. Si, de plus, K est commutatif, G/H est donc commutatif, donc H contient le dérivé de G. Le théorème suivant est une des différentes formes du critère d'Iwasawa qu'on trouve dans la littérature<ref>Le théorème qui suit est donné (sous une forme un peu plus forte) dans Donald E. Taylor, ''The Geometry of the Classical Groups'', 1992, théorème 1.2.</ref>. {{Théorème | titre = Critère d'{{w|Kenkichi Iwasawa|Iwasawa}} | contenu ={{Ancre|Groupe parfait}} Soit G un {{w|groupe parfait}} (c'est-à-dire égal à son [[../Commutateurs, groupe dérivé|dérivé]]) opérant de façon primitive sur un ensemble X. Supposons qu’il existe un élément ''x'' de X tel que le stabilisateur G_x de ''x'' admette un sous-groupe A abélien et normal dans G_x dont les conjugués dans G engendrent G. Alors :a) si H est un sous-groupe normal de G non contenu dans le noyau de l'action de G sur X, H = G; :b) si X comprend au moins deux éléments, le quotient de G par le noyau de l'opération de G sur X est un groupe simple. }} Démonstration. Commençons par prouver la partie a) de l'énoncé. Soit H un sous-groupe normal de G non contenu dans le noyau de l'action de G sur X. Il s'agit de prouver que H = G. Puisque G opère primitivement sur X, il résulte d'un théorème ci-dessus que H opère transitivement sur X. D'après [[../Action de groupe#Argument de Frattini|l'argument de Frattini]] (forme générale), on a donc G = HS, où S désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Donc, d’après le précédent lemme, H contient le dérivé de G. Puisque, par hypothèse, G est parfait, H est donc égal à G, ce qui prouve la partie a) de l'énoncé. La partie b) se tire facilement de la partie a). Par définition d'une action primitive, l'action de G sur X est transitive, donc, puisque X est supposé comprendre au moins deux éléments, cette action n'est par triviale, autrement dit, si K désigne le noyau de cette action, le groupe G/K n'est pas trivial, ce qui est une première condition à satisfaire pour être simple. Soit maintenant N un sous-groupe normal de G/K non réduit à l'élément neutre. D'après le théorème de correspondance, N est de la forme H/K, où H est un sous-groupe normal de G contenant K et non réduit à K. D'après la partie a) de l'énoncé, H est égal à G tout entier, donc N, étant égal à H/K, est égal à G/K tout entier, ce qui achève de prouver que le groupe G/K est simple. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] }} 2tcsi5nqdhba8fpjsqmzoi1hhg4ufea 0 74240 986329 986328 2026-09-07T12:31:38Z Phl7605 31541 /* Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δp fixe dans un référentiel d'étude galiléen */ 986329 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>en rotation autour de cet axe</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quel que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité</u> résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe <u>concerne l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}l'axe de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}a été explicitée dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé discret en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »</ref> puis <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}explicitée dans le chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé continu en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\big[\left( \Delta \right)\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\,</math> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> }}<br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant aussi «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d \mathcal{S}_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire }}<math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\,t</math>.</ref> ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire <math>\,\color{transparent}{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})(t) = d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}</math> }}<math>= J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math> <math>\,\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse <br>{{Al|11}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire <math>\,\color{transparent}{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})(t) = d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}</math> <math>\color{transparent}{= J_\Delta(\text{syst})\;d^2 \theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\,M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\,</math> et solidaire du solide, <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\,C_{\text{réf}}\,</math> relativement au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\,t\,</math> par la position de <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> au même instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}ou par la dérivée temporelle <math>2^{\text{nde}}</math> de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation" /> de repérage <br>{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou par la dérivée temporelle <math>\color{transparent}{2^{\text{nde}}}</math> de }}du système dans sa rotation par rapport à <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou }}<math>\,\big[</math>la dérivée temporelle <math>2^{\text{nde}}</math> de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation" /> définissant <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}l'accélération angulaire instantanée <math>\,\ddot{\theta}(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> du système à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>l'accélération angulaire instantanée }}dans sa rotation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation <math>\,J_\Delta(\text{syst})\,</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\,</math> portée par l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\,\big[O\,</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste d'où, en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> étant en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est toujours <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\,A\,</math> mobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\,G\,</math> avec <math>\,\Delta_G\,</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|10}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>» }}<math>\,\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> de rotation à l'instant <math>\,t\,</math> s'écrivant, dans le cas où <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> reste de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math><ref name="signification d'un axe de rotation de direction fixe"> Le fait que l'axe de rotation d'un système fermé garde une direction fixe dans le référentiel d'étude signifie que l'autre composante du mouvement du système est une translation.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, }}«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec le remplacement, dans les deux paragraphes, du caractère « fixe » de l'axe par celui « de direction fixe » <math>\,\big[</math>ce qui importe c'est que le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> orientant l'axe soit une constante<math>\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|6}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> }}«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> }}et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|2}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> et «<math>\;\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\;</math> vitesse angulaire instantanée }}au même instant <math>\,t\;</math>», {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big[</math>l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\,\left( \Delta_G \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, }}est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\,G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, est la composition }}d'une rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> passant par <math>\,G</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, est la composition d'une rotation autour de }}l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G"> <math>\,G\,</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, et de direction fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> où <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» avec <math>\,G\,</math> son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec }}<math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> un axe issu de <math>\,G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe }}autour duquel le système tourne avec un vecteur rotation instantanée <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe autour duquel le système tourne }}à la date <math>\,t</math>, <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe autour duquel le système tourne }}la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne se calcule selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> }}<math>\,\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\,M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, s'évalue selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » correspondant au cas où le centre de rotation est fixe auquel on ajoute, quand ce dernier est mobile correspodant à une translation du système, le vecteur vitesse de translation du système.</ref>, <math>\,H_i\,</math> étant le centre du cercle que décrit <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)}\;</math>» }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> lié à <math>\,G\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «}}<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math><ref> En effet <math>\,\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\, \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> par utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> puis <math>\,\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \Bigg\{ \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\, \vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \Bigg\}\,</math> par utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et enfin par séparation en deux sommes.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}ou, en factorisant scalairement <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> par <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ou, en factorisant }}vectoriellement à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> par <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> «<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'annulation de ce 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \left\lbrace \vec{0} \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = 0\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^ème membre }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrit, en reconnaissant dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le facteur entre crochets <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> à l'instant <math>\;t</math> <math>\,\big[\mathcal{R}^{*}\;</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le facteur entre crochets <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)}\,</math> le vecteur vitesse <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)}\,</math> }}le référentiel lié à <math>\,G\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \! \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \! \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}c.-à-d. le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> en rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}^{*}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre c.-à-d. }}évalué, au même instant <math>\,t</math>, relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé en rotation autour d'un axe fixe" /> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}<math>\,J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre <math>\,\color{transparent}{J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2}\;</math> le moment d'inertie }}par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>finalement «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer }}par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer }}la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer }}chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> par un pseudo point centré en <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> par un pseudo point }}d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> par un pseudo point d'expansion }}surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\,G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le système fermé de matière ayant pour mouvement à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le système fermé de matière ayant pour mouvement à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> « la composition }}d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> autour de <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" />, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, est égal au produit }}de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> de ce dernier par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dfrac{d\, \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}soit, mathématiquement, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilité_en_dynamique_relativiste_-_hepta-97|⁹⁷]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;\ldots</math></ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}<math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\,M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\,</math> et solidaire du solide, <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, de centre <math>\,C_{\text{réf}}\,</math> relativement au référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> lié à <math>\,G\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> par la position de <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> dans ce même référentiel, soit <math>\,\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}<math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\,</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre. |} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} 5qdkauyj7kn9zdqf644o430102dk78h 986330 986329 2026-09-07T12:37:53Z Phl7605 31541 986330 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>en rotation autour de cet axe</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quel que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité</u> résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe <u>concerne l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}l'axe de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}a été explicitée dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé discret en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »</ref> puis <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}explicitée dans le chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé continu en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\big[\left( \Delta \right)\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\,</math> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> }}<br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant aussi «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d \mathcal{S}_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire }}<math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\,t</math>.</ref> ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire <math>\,\color{transparent}{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})(t) = d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}</math> }}<math>= J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math> <math>\,\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse <br>{{Al|11}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire <math>\,\color{transparent}{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})(t) = d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}</math> <math>\color{transparent}{= J_\Delta(\text{syst})\;d^2 \theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\,M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\,</math> et solidaire du solide, <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\,C_{\text{réf}}\,</math> relativement au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\,t\,</math> par la position de <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> au même instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}ou par la dérivée temporelle <math>2^{\text{nde}}</math> de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation" /> de repérage <br>{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou par la dérivée temporelle <math>\color{transparent}{2^{\text{nde}}}</math> de }}du système dans sa rotation par rapport à <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou }}<math>\,\big[</math>la dérivée temporelle <math>2^{\text{nde}}</math> de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation" /> définissant <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}l'accélération angulaire instantanée <math>\,\ddot{\theta}(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> du système à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>l'accélération angulaire instantanée }}dans sa rotation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation <math>\,J_\Delta(\text{syst})\,</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\,</math> portée par l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\,\big[O\,</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste d'où, en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> étant en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est toujours <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\,A\,</math> mobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\,G\,</math> avec <math>\,\Delta_G\,</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|10}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>» }}<math>\,\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> de rotation à l'instant <math>\,t\,</math> s'écrivant, dans le cas où <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> reste de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math><ref name="signification d'un axe de rotation de direction fixe"> Le fait que l'axe de rotation d'un système fermé garde une direction fixe dans le référentiel d'étude signifie que l'autre composante du mouvement du système est une translation.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, }}«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec le remplacement, dans les deux paragraphes, du caractère « fixe » de l'axe par celui « de direction fixe » <math>\,\big[</math>ce qui importe c'est que le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> orientant l'axe soit une constante<math>\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|6}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> }}«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> }}et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|2}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> et «<math>\;\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\;</math> vitesse angulaire instantanée }}au même instant <math>\,t\;</math>», {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big[</math>l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\,\left( \Delta_G \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, }}est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\,G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, est la composition }}d'une rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> passant par <math>\,G</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, est la composition d'une rotation autour de }}l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G"> <math>\,G\,</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, et de direction fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> où <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» avec <math>\,G\,</math> son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec }}<math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> un axe issu de <math>\,G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe }}autour duquel le système tourne avec un vecteur rotation instantanée <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe autour duquel le système tourne }}à la date <math>\,t</math>, <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe autour duquel le système tourne }}la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne se calcule selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> }}<math>\,\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\,M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, s'évalue selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » correspondant au cas où le centre de rotation est fixe auquel on ajoute, quand ce dernier est mobile correspodant à une translation du système, le vecteur vitesse de translation du système.</ref>, <math>\,H_i\,</math> étant le centre du cercle que décrit <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)}\;</math>» }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> lié à <math>\,G\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «}}<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math><ref> En effet <math>\,\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\, \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> par utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> puis <math>\,\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \Bigg\{ \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\, \vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \Bigg\}\,</math> par utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et enfin par séparation en deux sommes.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}ou, en factorisant scalairement <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> par <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ou, en factorisant }}vectoriellement à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> par <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> «<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'annulation de ce 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \left\lbrace \vec{0} \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = 0\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^ème membre }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrit, en reconnaissant dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le facteur entre crochets <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> à l'instant <math>\;t</math> <math>\,\big[\mathcal{R}^{*}\;</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le facteur entre crochets <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)}\,</math> le vecteur vitesse <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)}\,</math> }}le référentiel lié à <math>\,G\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \! \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \! \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}c.-à-d. le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> en rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}^{*}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre c.-à-d. }}évalué, au même instant <math>\,t</math>, relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé en rotation autour d'un axe fixe" /> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}<math>\,J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre <math>\,\color{transparent}{J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2}\;</math> le moment d'inertie }}par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>finalement «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer }}par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer }}la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer }}chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> par un pseudo point centré en <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> par un pseudo point }}d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> par un pseudo point d'expansion }}surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\,G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le système fermé de matière ayant pour mouvement à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le système fermé de matière ayant pour mouvement à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> « la composition }}d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> autour de <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" />, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, est égal au produit }}de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> de ce dernier par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dfrac{d\, \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}soit, mathématiquement, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilité_en_dynamique_relativiste_-_hepta-97|⁹⁷]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;\ldots</math></ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}<math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\,M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\,</math> et solidaire du solide, <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, de centre <math>\,C_{\text{réf}}\,</math> relativement au référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> lié à <math>\,G\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> par la position de <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> dans ce même référentiel, soit <math>\,\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}<math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\,</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre. |} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} 7r059iji1megp3cv0368uo4jof3p31s 986331 986330 2026-09-07T12:53:06Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986331 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>en rotation autour de cet axe</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quel que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité</u> résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe <u>concerne l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}l'axe de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}a été explicitée dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé discret en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »</ref> puis <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}explicitée dans le chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé continu en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\big[\left( \Delta \right)\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\,</math> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> }}<br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant aussi «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d \mathcal{S}_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <math>\big[</math>avec <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}« le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math> l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}s'écrivant encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire }}<math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\,t</math>.</ref> ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire <math>\,\color{transparent}{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})(t) = d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}</math> }}<math>= J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math> <math>\,\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse <br>{{Al|11}}{{Transparent|Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire <math>\,\color{transparent}{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})(t) = d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}</math> <math>\color{transparent}{= J_\Delta(\text{syst})\;d^2 \theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\,M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\,</math> et solidaire du solide, <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\,C_{\text{réf}}\,</math> relativement au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\,t\,</math> par la position de <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> au même instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}ou par la dérivée temporelle <math>2^{\text{nde}}</math> de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation" /> de repérage <br>{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou par la dérivée temporelle <math>\color{transparent}{2^{\text{nde}}}</math> de }}du système dans sa rotation par rapport à <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou }}<math>\,\big[</math>la dérivée temporelle <math>2^{\text{nde}}</math> de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation" /> définissant <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}l'accélération angulaire instantanée <math>\,\ddot{\theta}(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> du système à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit ou <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>l'accélération angulaire instantanée }}dans sa rotation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation <math>\,J_\Delta(\text{syst})\,</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\,</math> portée par l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\,\big[O\,</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste d'où, en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> étant en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est toujours <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\,A\,</math> mobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\,G\,</math> avec <math>\,\Delta_G\,</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|10}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>» }}<math>\,\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> de rotation à l'instant <math>\,t\,</math> s'écrivant, dans le cas où <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> reste de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math><ref name="signification d'un axe de rotation de direction fixe"> Le fait que l'axe de rotation d'un système fermé garde une direction fixe dans le référentiel d'étude signifie que l'autre composante du mouvement du système est une translation.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, }}«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec le remplacement, dans les deux paragraphes, du caractère « fixe » de l'axe par celui « de direction fixe » <math>\,\big[</math>ce qui importe c'est que le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> orientant l'axe soit une constante<math>\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|6}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> }}«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> }}et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|2}}{{Transparent|et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> de rotation à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> s'écrivant, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)}</math> et «<math>\;\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\;</math> vitesse angulaire instantanée }}au même instant <math>\,t\;</math>», {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big[</math>l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\,\left( \Delta_G \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, }}est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\,G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, est la composition }}d'une rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> passant par <math>\,G</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un système fermé dont le mouvement, est la composition d'une rotation autour de }}l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G"> <math>\,G\,</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, et de direction fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> où <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» avec <math>\,G\,</math> son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec }}<math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> un axe issu de <math>\,G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe }}autour duquel le système tourne avec un vecteur rotation instantanée <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe autour duquel le système tourne }}à la date <math>\,t</math>, <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\,</math> où <math>\,\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\,</math> un axe autour duquel le système tourne }}la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne se calcule selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> }}<math>\,\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\,M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, s'évalue selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » correspondant au cas où le centre de rotation est fixe auquel on ajoute, quand ce dernier est mobile correspodant à une translation du système, le vecteur vitesse de translation du système.</ref>, <math>\,H_i\,</math> étant le centre du cercle que décrit <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)}\;</math>» }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> lié à <math>\,G\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire «}}<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math><ref> En effet <math>\,\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\, \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> par utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> puis <math>\,\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \Bigg\{ \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\, \vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \Bigg\}\,</math> par utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et enfin par séparation en deux sommes.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}ou, en factorisant scalairement <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> par <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ou, en factorisant }}vectoriellement à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> par <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> «<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'annulation de ce 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \left\lbrace \vec{0} \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = 0\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^ème membre }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrit, en reconnaissant dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le facteur entre crochets <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> à l'instant <math>\;t</math> <math>\,\big[\mathcal{R}^{*}\;</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le facteur entre crochets <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)}\,</math> le vecteur vitesse <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)}\,</math> }}le référentiel lié à <math>\,G\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \! \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \! \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}c.-à-d. le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> en rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}^{*}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre c.-à-d. }}évalué, au même instant <math>\,t</math>, relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé en rotation autour d'un axe fixe" /> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre }}<math>\,J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd terme du 2^ème membre <math>\,\color{transparent}{J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2}\;</math> le moment d'inertie }}par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Soit un système discret fermé le moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>finalement «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer }}par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer }}la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer }}chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> par un pseudo point centré en <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> par un pseudo point }}d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer la seule modification consistant à remplacer chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> par un pseudo point d'expansion }}surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\,G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le système fermé de matière ayant pour mouvement à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le système fermé de matière ayant pour mouvement à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> « la composition }}d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> autour de <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" />, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» <ref name="expression du moment d'inertie d'un système fermé"> Revoir les expressions du moment d'inertie d'un système fermé discret ou continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, est égal au produit }}de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> de ce dernier par rapport à <math>\,\left( \Delta_G \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math>, «<math>\;\dfrac{d\, \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}soit, mathématiquement, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilité_en_dynamique_relativiste_-_hepta-97|⁹⁷]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;\ldots</math></ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}<math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\,M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\,</math> et solidaire du solide, <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta_G \right)</math>, de centre <math>\,C_{\text{réf}}\,</math> relativement au référentiel <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> lié à <math>\,G\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}^{*}\,</math> par la position de <math>\,M_{\text{réf}}\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> dans ce même référentiel, soit <math>\,\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, soit, mathématiquement, }}<math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\,</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre. |} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} kgho9nlzmjmhzaug0qfb4ijpsb89ntl 0 74280 986332 961888 2026-09-07T15:29:14Z Phl7605 31541 986332 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\;\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\;\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)\;</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : * soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, * soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\;\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\;\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\;\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\;t\;</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\;\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\;\big(</math>donc l'extrémité mobile<math>\big)\;</math> par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\;\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\;</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\;\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\;</math> à l'instant initial <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\;\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\;C\;</math> de la tige aux fils<math>\big)\;</math> figurent sur le schéma : * celles du fil de torsion supérieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math> et couple de torsion de moment <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\;</math> et * celle du « fil sans torsion inférieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» lequel définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\;C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>»<ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|38}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\;</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\;t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\;C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\;C\;</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\;\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\;C\;</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\;\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\;</math> tous deux notés <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\;< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\;C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> avec <math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\;</math> mais une unité mathématique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\;</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} bneavq3aeloell9tm6hfshoh1nxxevq 986333 986332 2026-09-07T18:06:09Z Phl7605 31541 /* Notion de fil de torsion */ 986333 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\;\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\;\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)\;</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : * soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, * soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\;\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\;\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\;\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\;t\;</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\;\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\;\big(</math>donc l'extrémité mobile<math>\big)\;</math> par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\;\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\;</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\;\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\;</math> à l'instant initial <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\;\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\;C\;</math> de la tige aux fils<math>\big)\;</math> figurent sur le schéma : * celles du fil de torsion supérieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math> et couple de torsion de moment <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\;</math> et * celle du « fil sans torsion inférieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» lequel définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\;C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>»<ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|38}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\;</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\;t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\;C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\;C\;</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\;\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\;C\;</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\;\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\;</math> tous deux notés <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\;< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\;C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> avec <math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\;</math> mais une unité mathématique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\;</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} mqgqhewuno03s5ojibwjrohu6psatb6 986334 986333 2026-09-07T18:08:18Z Phl7605 31541 /* Notion de fil de torsion */ 986334 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\;\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)\;</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : * soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, * soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\;\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\;\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\;\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\;t\;</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\;\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\;\big(</math>donc l'extrémité mobile<math>\big)\;</math> par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\;\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\;</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\;\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\;</math> à l'instant initial <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\;\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\;C\;</math> de la tige aux fils<math>\big)\;</math> figurent sur le schéma : * celles du fil de torsion supérieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math> et couple de torsion de moment <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\;</math> et * celle du « fil sans torsion inférieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» lequel définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\;C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>»<ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|38}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\;</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\;t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\;C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\;C\;</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\;\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\;C\;</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\;\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\;</math> tous deux notés <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\;< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\;C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> avec <math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\;</math> mais une unité mathématique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\;</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} ogl10fp5v5q64dvikazqqb8iiy2vd89 986335 986334 2026-09-07T18:10:04Z Phl7605 31541 /* Notion de fil de torsion */ 986335 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : * soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, * soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\;\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\;\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\;\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\;t\;</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\;\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\;\big(</math>donc l'extrémité mobile<math>\big)\;</math> par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\;\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\;</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\;\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\;</math> à l'instant initial <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\;\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\;C\;</math> de la tige aux fils<math>\big)\;</math> figurent sur le schéma : * celles du fil de torsion supérieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math> et couple de torsion de moment <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\;</math> et * celle du « fil sans torsion inférieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» lequel définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\;C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>»<ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|38}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\;</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\;t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\;C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\;C\;</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\;\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\;C\;</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\;\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\;</math> tous deux notés <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\;< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\;C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> avec <math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\;</math> mais une unité mathématique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\;</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} b2lbetkyc94xta0k27rzgpni2spp01i 986336 986335 2026-09-07T18:15:58Z Phl7605 31541 /* Notion de fil de torsion */ 986336 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\;\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\;t\;</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\;\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\;\big(</math>donc l'extrémité mobile<math>\big)\;</math> par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\;\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\;</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\;\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\;</math> à l'instant initial <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\;\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\;C\;</math> de la tige aux fils<math>\big)\;</math> figurent sur le schéma : * celles du fil de torsion supérieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math> et couple de torsion de moment <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\;</math> et * celle du « fil sans torsion inférieur <math>\;\big[</math>tension du fil <math>\;\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» lequel définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\;C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>»<ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|38}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\;</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\;t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\;C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\;C\;</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\;\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\;C\;</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\;\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\;</math> tous deux notés <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\;< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\;C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> avec <math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\;</math> mais une unité mathématique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\;</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 38hayoc7teuwxw0kpafh6ec8nzksrop 986338 986336 2026-09-07T22:47:35Z Phl7605 31541 /* Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » */ 986338 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à l'angle de torsion <math>\;\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\;< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\;C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math> avec <math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\;</math> mais une unité mathématique <math>\;\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\;</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} elvze3d3gkn2o2ym0v5ipnmixznnzhk 986339 986338 2026-09-07T22:50:41Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion */ 986339 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 9wxa8d5yor1n5046b9fohte3w1upwaq 986340 986339 2026-09-07T22:51:27Z Phl7605 31541 986340 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\;</math> [[w:Module_de_Young|module de Young]] du matériau <math>\;\big(</math>ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_de_Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\;</math> est la contrainte imposée en <math>\;Pa</math>, <math>\;F\;</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\;S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\;</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> s'exprime donc en <math>\;Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\;E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\;</math> et * le caoutchouc <math>\;E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\;\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson «<math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>les matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\;</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\;\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\;\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\;\nu_{W} = 0,19\;</math> et * le caoutchouc <math>\;\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_de_Young|module de Young]] <math>\;E\;</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\;\nu\;</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\;G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\;G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\;</math> et * le caoutchouc <math>\;G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\;\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\;\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref>}} s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», se calcule par <center>«<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} ryd36484emvhyzc1zkvns31lqo5odm6 986342 986340 2026-09-08T05:14:29Z Phl7605 31541 /* Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion */ 986342 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} bka9f1nvmceefnydr4n3dhsz7he9cyp 986343 986342 2026-09-08T05:15:36Z Phl7605 31541 /* Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion */ 986343 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\;\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\;</math> mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\;\big(</math>d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\;\succ\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\;</math> quasi nul <math>\;\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\;</math> permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 0n989n0dbvqeoidasg4nvguzbtuwf0s 986357 986343 2026-09-08T10:25:32Z Phl7605 31541 /* Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion */ 986357 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Ci-contre un pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la {{Nobr|tige<math>\big)</math> ;}} {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)</math>, la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} lnz66oi623vwt8ua375lebzlmqvv1p9 105 75106 986341 986284 2026-09-08T04:01:33Z JackBot 8020 Robot : Correction des redirections erronées depuis Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam vers la page déplacée cible [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] 986341 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] hwnqekkqgzdhrki5o6quoy521zpankk 2 80171 986363 981770 2026-09-08T11:07:52Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Activité_A_Sarah_HALPHEN.pdf|Activité_A_Sarah_HALPHEN.pdf]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:ChemSim|ChemSim]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/Files uploaded by Sarahhalphen|]]. 986363 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] 1.     Ce que j’aime boire et manger sont les sushis et la bière belge 2.     J’ai fait de la danse et les danses qui bougent sont le HIP HOP, la Zumba et le Charleston. 3.     J’aime regarder les Jeux Olympiques et je pratique plusieurs sports : équitation et le tennis. 4.     Je joue un instrument de musique : le piano Je pars du niveau d’information le plus granulaire d’information : Sarah-> les sushis, la bière belge, le Hip Hop, la Zumba, le Charleston, équitation, tennis, piano. _ Sarah - (aime manger et boire) → les sushis, bières belges. Sarah - (aimerait bien danser) → hip hop, Zumba et Charleston Sarah - (pratique les sports) → équitation, tennis Sarah - (joue) → piano _ Les sushis - (est un plat de) → Cuisine japonaise La bière belge (est une boisson de) → Belge La valse - (est un genre de danse) → danse rythmée La zumba - (est un genre de danse) → danse rythmée Le Charleston – (est un genre de danse) → danse rythmée L’équitation - (sport olympique) → Sport d’été Le tennis - (sport olympique) → Sport d’été Le piano - (type d’instrument) → Les instruments à cordes _ Cuisine japonaise - (comprend) → Plat Cuisine belge - (comprend) → boisson Danse rythmée - (est un type de) → Danses Danse folklorique - (est un type de) → Danses Sport d’été - (est un type de) → Sports Les instruments à cordes - (sont des) → Instruments de musique ---- ---- ---- ----'''''<u>Correction:</u>''''' Sarah → sushis Sarah → Bière belge Sarah → Hip Hop Sarah → Zumba Sarah → Charleston Sarah → Equitation Sarah → Tennis Sarah → Piano La liste sous force économique ci-dessous figurait dans mon devoir sans correction. Sarah-> les sushis, la bière belge, le Hip Hop, la Zumba, le Charleston, équitation, tennis, piano. <u>Précision de cette liste avec des propriétés de liens :</u> Sarah → ( (apprécie sushis), (apprécie bière belge), (danse Hip hop), (danse Zumba), (danse Charleston), (pratique équitation), (pratique tennis), (joue piano)) <u>Je peux alors plus développer mon réseau en ajoutant des liens de catégories plus génériques :</u> Sarah → ( (apprécie sushis), (apprécie bière belge), (danse Hip hop), (danse Zumba), (danse Charleston), (pratique équitation), (pratique tennis), (joue piano)) Sushis → (cas de cuisine) Bière belge → (cas de boisson) Hip Hop → (cas de danse) Zumba → (cas de danse) Charleston → (cas de danse) Equitation → (cas de sport) Tennis → (cas de sport) Piano → (Type d'instrument de musique) <u>Complément de mon graphe:</u> Sarah → ( (apprécie sushis), (apprécie bière belge), (danse Hip hop), (danse Zumba), (danse Charleston), (pratique équitation), (pratique tennis), (joue piano)) Sushis → (cas de cuisine japonaise) Bière belge → (cas de boisson belge) Hip hop → ( (cas de danse) (cas de sport)) Zumba → ( (cas de danse) (cas de sport)) Charleston → ( (cas de danse) (cas de sport)) Danse → (type d'activité physique) Sport → (type d'activité physique) Equitation → ( (cas de sport), (sport équestre)) Tennis → ( (cas de sport) (cas de sport de raquette)) 99b6vvhkk4e36v35g93zucqkyewuvj5 2 80345 986361 981792 2026-09-08T11:07:47Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Graphe_2_Activité_B.pdf|Graphe_2_Activité_B.pdf]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:ChemSim|ChemSim]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/Files uploaded by Sarahhalphen|]]. 986361 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] '''Réseau:''' # Cléa Desitter et Agathe Mornon ont des nœuds en commun avec moi. # #Participants: Sarahhalphen —> les sushis, la bière belge, le Hip Hop, la Zumba, le Charleston, équitation, tennis, piano CléaDesitter —> les crêpes, le gin, le rock, la macarena, la techno, la trompette, le piano, la course de fond Agathemornon —> les bo buns, les ramens, le poulet tikka, le flamenco, la danse rock, la guitare, la batterie, le tennis, le pilate, la natation <nowiki>#</nowiki>autres nœuds: Sushis —> cuisine japonaise Hip hop —> type de danse Zumba —> type de danse Charleston —> type de danse Equitation —> sport Tennis —> sport Piano —> instrument de musique Macarena —> type de danse Trompette —> instrument de musique Course de fond —> sport Ramens —> cuisine japonaise Flamenco —> type de danse Danse rock —> type de danse Guitare —> instrument de musique Batterie —> instrument de musique Pilate —> sport Natation —> sport '''Question :''' 2- # Est-ce qu’il y a une projection en triangle ? il y a une projection en triangle :  Tennis - Piano - Sushis # Comme montré précédemment il y a une projection en triangle # Je ne comprends pas la question 3- Je n’ai pas compris ce qu’il fallait faire pour la suite de l’activité. ---- == '''Correction:''' == == Réseau == Les réseaux sont à mon sens composés des liens suivants: [ Margaux] → [ Tiramisu ], [ mojito ], [ daiquiri ], [ danse classique ], [ hip hop ], [ guitare classique ], [ pilate ], [ tennis ] [ Cléa ] → [ crêpes ], [gin ], [ rock ], [ macarena ], [ techno ], [ trompette ], [ piano ], [ course de fond ] [ Sarah] → [sushi ], [ bière belge ], [ hip hop ], [ zumba ], [ charleston ], [équitation ], [ tennis ], [ piano ] [[Fichier:Mon réseau Activite B.jpg|vignette|Mon réseau ]] Le graphe se trouve en pièce jointe (nommé : "Mon réseau) == Question 1 == * ll y a une seule composante connexe, c'est tout le graphe, car toutes les personnes sont liées à [ Sarah ], et tous les autres nœuds sont liés à au moins une personne. * Dans ce graphe, chaque nœud est une composante fortement connexe. == Question 2 == Si on ignore l'orientation des liens alors : # Dans ce graphe, on ne trouve pas de triangles. Le graphe est dans ce sens biparti : les personnes ne se connectent pas entre elles, et les nœuds objet ne se connectent pas entre eux. # Cycle à 4 pas : [Sarah] -[hip hop]-[margaux]-[Tennis]-[Sarah] Si on prend en compte l'orientation des liens alors : # Comme il n'y a pas de triangle non-orienté alors il n'y a pas de triangle orienté. # Il n'y a pas de cycle dans ce graphe orienté car chaque nœud a se composante fortement connexe. == Question 3 == Les degrés du graphe: {| class="wikitable" |+ !Nœud(s) !Degré non-orienté !Degré sortant !Degré entrant |- |Sarah |8 |8 |0 |- |Cléa |8 |8 |0 |- |Margaux |8 |8 |0 |- |Piano |2 |0 |2 |- |Hip Hop |2 |0 |2 |- |Tennis |2 |0 |2 |- |[18 autres nœuds] |1 |0 |1 |} Distribution des degrés: {| class="wikitable" !Degré !#non-orienté !#Degré sortant !#Degré entrant |- |0 |0 |0 |0 |- |1 |1 |0 |18 |- |2 |2 |0 |2 |- |8 |2 |2 |0 |} == Question 4 == Mon réseau simplifié (supérieur à 1) [Sarah]--> [hip hop] ← [margaux] → [Tennis] # Matrice adjacente: {| class="wikitable" ! !Sarah !Clea !Margaux !Hip Hop !Tennis !Piano |- |Sarah |0 |0 |0 |1 |1 |1 |- |Cléa |0 |0 |0 |0 |0 |1 |- |Margaux |0 |0 |0 |1 |1 |0 |- |Hip Hop |0 |0 |0 |0 |0 |0 |- |Tennis |0 |0 |0 |0 |0 |0 |- |Piano |0 |0 |0 |0 |0 |0 |} 2. 1 Projections non-orientées : * Sur les personnes: [Sarah] - [Piano] -[Cléa] [Margaux] - [Tennis] - [Sarah] [Margaux] - [Hip Hop] - [Sarah] * Sur les objets: [Hip Hop] - [Sarah] - [Tennis] [Hip Hop] - Margaux] - [Tennis] 2.2 Diamètre non-orienté ll n'y a qu'une seule composante connexe et la plus grande distance est 3 et on la trouve pour aller de [ Piano ] à [ Margaux ] ou de [Sarah] à [Tennis] 3. Réseau fortement connexe Dans un réseau fortement connexe on peut partir et arriver entre n'importe quels deux nœuds. Si on ajoute 3 liens partant des objets vers les personnes, d'une telle sorte qu'on puisse circuler dans le graphe. Si on rajoute au graphe les liens alors: [Piano] → [Cléa] [Hip Hop ] → [Margaux] [Tennis] → [Sarah] ryn7yo8vl9ttt57rec15kvcl46d8t3g 986362 986361 2026-09-08T11:07:50Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Mon_réseau_Activite_B.jpg|Mon_réseau_Activite_B.jpg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:ChemSim|ChemSim]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/Files uploaded by Sarahhalphen|]]. 986362 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] '''Réseau:''' # Cléa Desitter et Agathe Mornon ont des nœuds en commun avec moi. # #Participants: Sarahhalphen —> les sushis, la bière belge, le Hip Hop, la Zumba, le Charleston, équitation, tennis, piano CléaDesitter —> les crêpes, le gin, le rock, la macarena, la techno, la trompette, le piano, la course de fond Agathemornon —> les bo buns, les ramens, le poulet tikka, le flamenco, la danse rock, la guitare, la batterie, le tennis, le pilate, la natation <nowiki>#</nowiki>autres nœuds: Sushis —> cuisine japonaise Hip hop —> type de danse Zumba —> type de danse Charleston —> type de danse Equitation —> sport Tennis —> sport Piano —> instrument de musique Macarena —> type de danse Trompette —> instrument de musique Course de fond —> sport Ramens —> cuisine japonaise Flamenco —> type de danse Danse rock —> type de danse Guitare —> instrument de musique Batterie —> instrument de musique Pilate —> sport Natation —> sport '''Question :''' 2- # Est-ce qu’il y a une projection en triangle ? il y a une projection en triangle :  Tennis - Piano - Sushis # Comme montré précédemment il y a une projection en triangle # Je ne comprends pas la question 3- Je n’ai pas compris ce qu’il fallait faire pour la suite de l’activité. ---- == '''Correction:''' == == Réseau == Les réseaux sont à mon sens composés des liens suivants: [ Margaux] → [ Tiramisu ], [ mojito ], [ daiquiri ], [ danse classique ], [ hip hop ], [ guitare classique ], [ pilate ], [ tennis ] [ Cléa ] → [ crêpes ], [gin ], [ rock ], [ macarena ], [ techno ], [ trompette ], [ piano ], [ course de fond ] [ Sarah] → [sushi ], [ bière belge ], [ hip hop ], [ zumba ], [ charleston ], [équitation ], [ tennis ], [ piano ] Le graphe se trouve en pièce jointe (nommé : "Mon réseau) == Question 1 == * ll y a une seule composante connexe, c'est tout le graphe, car toutes les personnes sont liées à [ Sarah ], et tous les autres nœuds sont liés à au moins une personne. * Dans ce graphe, chaque nœud est une composante fortement connexe. == Question 2 == Si on ignore l'orientation des liens alors : # Dans ce graphe, on ne trouve pas de triangles. Le graphe est dans ce sens biparti : les personnes ne se connectent pas entre elles, et les nœuds objet ne se connectent pas entre eux. # Cycle à 4 pas : [Sarah] -[hip hop]-[margaux]-[Tennis]-[Sarah] Si on prend en compte l'orientation des liens alors : # Comme il n'y a pas de triangle non-orienté alors il n'y a pas de triangle orienté. # Il n'y a pas de cycle dans ce graphe orienté car chaque nœud a se composante fortement connexe. == Question 3 == Les degrés du graphe: {| class="wikitable" |+ !Nœud(s) !Degré non-orienté !Degré sortant !Degré entrant |- |Sarah |8 |8 |0 |- |Cléa |8 |8 |0 |- |Margaux |8 |8 |0 |- |Piano |2 |0 |2 |- |Hip Hop |2 |0 |2 |- |Tennis |2 |0 |2 |- |[18 autres nœuds] |1 |0 |1 |} Distribution des degrés: {| class="wikitable" !Degré !#non-orienté !#Degré sortant !#Degré entrant |- |0 |0 |0 |0 |- |1 |1 |0 |18 |- |2 |2 |0 |2 |- |8 |2 |2 |0 |} == Question 4 == Mon réseau simplifié (supérieur à 1) [Sarah]--> [hip hop] ← [margaux] → [Tennis] # Matrice adjacente: {| class="wikitable" ! !Sarah !Clea !Margaux !Hip Hop !Tennis !Piano |- |Sarah |0 |0 |0 |1 |1 |1 |- |Cléa |0 |0 |0 |0 |0 |1 |- |Margaux |0 |0 |0 |1 |1 |0 |- |Hip Hop |0 |0 |0 |0 |0 |0 |- |Tennis |0 |0 |0 |0 |0 |0 |- |Piano |0 |0 |0 |0 |0 |0 |} 2. 1 Projections non-orientées : * Sur les personnes: [Sarah] - [Piano] -[Cléa] [Margaux] - [Tennis] - [Sarah] [Margaux] - [Hip Hop] - [Sarah] * Sur les objets: [Hip Hop] - [Sarah] - [Tennis] [Hip Hop] - Margaux] - [Tennis] 2.2 Diamètre non-orienté ll n'y a qu'une seule composante connexe et la plus grande distance est 3 et on la trouve pour aller de [ Piano ] à [ Margaux ] ou de [Sarah] à [Tennis] 3. Réseau fortement connexe Dans un réseau fortement connexe on peut partir et arriver entre n'importe quels deux nœuds. Si on ajoute 3 liens partant des objets vers les personnes, d'une telle sorte qu'on puisse circuler dans le graphe. Si on rajoute au graphe les liens alors: [Piano] → [Cléa] [Hip Hop ] → [Margaux] [Tennis] → [Sarah] d3fw0tiflb7ra69kkbqrjbxumvzcdes 2 80520 986358 981818 2026-09-08T11:07:38Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Matriceeeee.pdf|Matriceeeee.pdf]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:ChemSim|ChemSim]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/Files uploaded by Sarahhalphen|]]. 986358 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] == '''Activité E''' == === Mon réseau === [[Fichier:Graphiquee 1.pdf|vignette]] Je m'appelle SARAH HALPHEN Ainsi, je retrouve la lettre a dans S'''A'''RAH pour L1 et la lettre H dans Halph'''e'''n pour L2 On supprime le lien entre A et B et on ajoute un lien entre C et E. (graphique ci-joint nommé: graphique 1) === Composantes === I. Identifiez les composantes fortement connexes du graphe : Il existe 2 composantes fortement connexes (groupes avec des liens entre toutes les paires) : [A, C, D, E, F] car tous les nœuds peuvent être reliés entre eux c'est à dire qui a des liens entre toutes les paires. [B] est isolé car il ne ramène qu'a B, il n'y a aucun autres liens. II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? Pour la centraité de valeur propre généralise à la centralité de vecteur, il faut incorporer l’importance des voisins. === Vecteur propre et PageRank === [[Fichier:MatriceE.pdf|vignette|Matrices ]] Mt : Nœuds ordonnées alphabétiquement (A (L1), B, C, D, E (L2), F). V0: La matière totale est 1. Vous trouverez en pièce jointe les matrices correspondantes. -->Le calcul d'itération donne bien 1. Suite à l'itération, il y a l'étape de redistribution, pour éviter que le risque que la matière se concentre sur les composantes fortement connexes du graphe dont elle ne pourrait plus sortir. --> L'étape de redistribution donne bien 1 , le résultat escompté. === Question pour les curieux === Attribuer à chaque nœud une partie  de la matière de chacun des nœuds tout en gardant une partie de la matière de chaque nœud dans le nœud lui-même, Il faut donc y ajouter cet élément  à la diagonale de la matrice. Dans l'exercice, s= 0,9. 1-0,9 =0,1. ⇒ matrice de redistribution. 1qmxm72j00p0x1pdto0i8kkrybwxi0h 986359 986358 2026-09-08T11:07:41Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Graphiquee_1.pdf|Graphiquee_1.pdf]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:ChemSim|ChemSim]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/Files uploaded by Sarahhalphen|]]. 986359 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] == '''Activité E''' == === Mon réseau === Je m'appelle SARAH HALPHEN Ainsi, je retrouve la lettre a dans S'''A'''RAH pour L1 et la lettre H dans Halph'''e'''n pour L2 On supprime le lien entre A et B et on ajoute un lien entre C et E. (graphique ci-joint nommé: graphique 1) === Composantes === I. Identifiez les composantes fortement connexes du graphe : Il existe 2 composantes fortement connexes (groupes avec des liens entre toutes les paires) : [A, C, D, E, F] car tous les nœuds peuvent être reliés entre eux c'est à dire qui a des liens entre toutes les paires. [B] est isolé car il ne ramène qu'a B, il n'y a aucun autres liens. II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? Pour la centraité de valeur propre généralise à la centralité de vecteur, il faut incorporer l’importance des voisins. === Vecteur propre et PageRank === [[Fichier:MatriceE.pdf|vignette|Matrices ]] Mt : Nœuds ordonnées alphabétiquement (A (L1), B, C, D, E (L2), F). V0: La matière totale est 1. Vous trouverez en pièce jointe les matrices correspondantes. -->Le calcul d'itération donne bien 1. Suite à l'itération, il y a l'étape de redistribution, pour éviter que le risque que la matière se concentre sur les composantes fortement connexes du graphe dont elle ne pourrait plus sortir. --> L'étape de redistribution donne bien 1 , le résultat escompté. === Question pour les curieux === Attribuer à chaque nœud une partie  de la matière de chacun des nœuds tout en gardant une partie de la matière de chaque nœud dans le nœud lui-même, Il faut donc y ajouter cet élément  à la diagonale de la matrice. Dans l'exercice, s= 0,9. 1-0,9 =0,1. ⇒ matrice de redistribution. lvxumy2c52l4s095gg4946dhivukp22 986360 986359 2026-09-08T11:07:44Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:MatriceE.pdf|MatriceE.pdf]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:ChemSim|ChemSim]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/Files uploaded by Sarahhalphen|]]. 986360 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] == '''Activité E''' == === Mon réseau === Je m'appelle SARAH HALPHEN Ainsi, je retrouve la lettre a dans S'''A'''RAH pour L1 et la lettre H dans Halph'''e'''n pour L2 On supprime le lien entre A et B et on ajoute un lien entre C et E. (graphique ci-joint nommé: graphique 1) === Composantes === I. Identifiez les composantes fortement connexes du graphe : Il existe 2 composantes fortement connexes (groupes avec des liens entre toutes les paires) : [A, C, D, E, F] car tous les nœuds peuvent être reliés entre eux c'est à dire qui a des liens entre toutes les paires. [B] est isolé car il ne ramène qu'a B, il n'y a aucun autres liens. II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? Pour la centraité de valeur propre généralise à la centralité de vecteur, il faut incorporer l’importance des voisins. === Vecteur propre et PageRank === Mt : Nœuds ordonnées alphabétiquement (A (L1), B, C, D, E (L2), F). V0: La matière totale est 1. Vous trouverez en pièce jointe les matrices correspondantes. -->Le calcul d'itération donne bien 1. Suite à l'itération, il y a l'étape de redistribution, pour éviter que le risque que la matière se concentre sur les composantes fortement connexes du graphe dont elle ne pourrait plus sortir. --> L'étape de redistribution donne bien 1 , le résultat escompté. === Question pour les curieux === Attribuer à chaque nœud une partie  de la matière de chacun des nœuds tout en gardant une partie de la matière de chaque nœud dans le nœud lui-même, Il faut donc y ajouter cet élément  à la diagonale de la matrice. Dans l'exercice, s= 0,9. 1-0,9 =0,1. ⇒ matrice de redistribution. 1kum4sg13s6jtibh1vgoiq5wcggxbi4 4 86051 986356 986309 2026-09-08T10:11:45Z Ambre Troizat 8860 /* Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence */ Réponse 986356 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-32 == <section begin="technews-2026-W32"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518] * L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-readinglists&filter=&action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia. * La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698] * Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W32"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 août 2026 à 19:46 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30872536 --> == Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div></div> '''Un numéro exceptionnel''' La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Dossier spécial Wikimania</span>''' '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les POV</span>'''<br>— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être<br>— Témoignages : regards sur la Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">L'Analyse</span>''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Comptes-rendus</span>'''<br>— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse<br>— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »<br>— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne<br>— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia<br>— Des événements techniques à Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Interviews</span>'''<br>— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !<br>— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! <span class="smiley">[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]</span> [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC) :Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-33 == <section begin="technews-2026-W33"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001] * <span class="mw-translate-fuzzy">Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>cldsort=timestamp</nowiki></code></bdi> dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.</span> [https://phabricator.wikimedia.org/T433768] * Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W33"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 10 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30901051 --> == Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence == Bonjour. Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement. C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité. En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche. Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche. L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&oldid=1 1^er décembre 2026]. * Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique. * Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour. * Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides. * Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet. Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet. J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ? Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 août 2026 à 15:50 (UTC) :Bonjour, :Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté. :Mon idée, par exemple: :* Études artistiques :** On remplace les quatres département en un seul. :** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki. :* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité, je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. :Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC) ::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul. ::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose. ::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs. ::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué. ::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs. ::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 10:54 (UTC) ::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté "Études artistiques" dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC) :::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table. :::* Ce qui reste à faire en priorité : :::** réparer les "MOOCs" ; :::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon "niveau d'avancement" pour les ébauches]] ; :::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]]. :::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] : :::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ; :::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement) :::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail. :::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC) ::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC) ::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC) :::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 14:05 (UTC) :::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia. :::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki. :::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC) ::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:37 (UTC) ::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple: ::La faculté "Études artistiques" possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille "Études artistiques", dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction. ::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC) : Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) :Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. <br>Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC). ::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:41 (UTC) :Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs : : * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile. : * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée. : * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire. : => Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?). Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... : Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) - une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' => Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:55 (UTC) :Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres "professeurs" les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe ("travaux de groupe" disait on autrefois) : Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une "superintelligence" va-t-elle manger "nos" wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:00 (UTC) P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus. : Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC) :Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 23:48 (UTC) ::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:02 (UTC) :::Je viens de lire ce fil ? :::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ? :::Ou, dois-je dire : "Hourrah ! bonne nouvelle ? :::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees. :::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC) ::::Bonsoir à tous, ::::Je précise ma participation au projet. ::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables. ::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression. ::::Le chantier devrait comprendre six axes : ::::1. Inventaire ::::2. Architecture du site, ::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales, ::::5. Accueil des publics ::::6. Modernisation technique. ::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : ::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; ::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]]. ::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté. ::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : ::::* Ateliers présentiels ::::* Supports publiés sur Wikiversitè ::::* Productions accompagnées ::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants. ::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique : ::::1. le problème traité ::::2. le public concerné ::::3. le responsable ::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. ::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC) :::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants : :::::1. Recherche et thèse, en prenant appui :::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia :::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè :::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon. :::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales & la traçabilité des productions. :::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ; :::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables. :::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable) :::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC) :::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^" Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC) ::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant "pignon sur rue" serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: "leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé"Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC) :::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC) ::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit. ::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon. ::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence. ::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil== J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace Les coulisses de Wikibook]. La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide. Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité. Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC) :Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran. :Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia. :1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite. :2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite. :3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente. :Voilà tout. :Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres. :Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC) ::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-34</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W34"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC. '''Updates for editors''' * [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>__EXPECTSHORTPAGE__</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203] * One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>w:bol:</nowiki></code></bdi>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921] * Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640] '''Updates for technical contributors''' * Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W34"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17 août 2026 à 21:03 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30922806 --> == Growth/Newsletters/36 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> [[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]] ''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.'' <span id="Recent_releases"></span> === Modifications récentes === <span id="Account_creation_experiments"></span> ==== Expériences de création de compte ==== Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs. * Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]]) * Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) *Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]] *Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option "afficher le mot de passe" et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %). <span id="Revise_Tone_structured_task"></span> ==== Tâche structurée de révision du ton ==== [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton. Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté. [[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité "Revise Tone" sur d'autres wikis. <span id="Automated_mentor_list_cleanup"></span> ==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ==== Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés). L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs. Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]]. <span id="Growth_features_for_Wikidata"></span> ==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ==== Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module "Impact", les actualités de la communauté et le panneau d'aide. <span id="Work_in_progress"></span> === Travail en cours === [[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]] <span id="Home"></span> ==== Accueil ==== Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants. Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun. <span id="Research"></span> === Recherche === L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté : * [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]] * [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] ''<small>'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].</small>'' </div> 18 août 2026 à 13:17 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&oldid=30870183 --> == Actualités techniques n° 2026-35 == <section begin="technews-2026-W35"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783] * Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448] '''Actualités pour la contribution technique''' * La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{#uic:}}</nowiki></code></bdi>. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{Userlinks}}</nowiki></code></bdi>]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466] * En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> (Spécial:Ma_page) avec l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> restent accessibles et utilisables sans <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>User:Myusername</nowiki></code></bdi>) peuvent toujours être utilisées avec <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386] * Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>librsvg</nowiki></code></bdi> a été mis à jour vers la version 2.60 et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ImageMagick</nowiki></code></bdi> vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W35"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 24 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30961208 --> == Actualités techniques n° 2026-36 == <section begin="technews-2026-W36"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines. '''Actualités pour la contribution''' * La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre. * À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés. * Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>onlyredirects:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>withredirects:</nowiki></code></bdi>, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>incategory:</nowiki></code></bdi>, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>intitle:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>insource:</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089] * Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>deepcat</nowiki></code></bdi> pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465] * L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]] '''En détails''' * Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W36"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 31 août 2026 à 20:53 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30990659 --> 4bdgtgjl5jvdxfeoaycdib9rfs8kwms 986364 986356 2026-09-08T11:20:29Z Ambre Troizat 8860 /* Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence */ Réponse 986364 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-32 == <section begin="technews-2026-W32"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518] * L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-readinglists&filter=&action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia. * La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698] * Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W32"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 août 2026 à 19:46 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30872536 --> == Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div></div> '''Un numéro exceptionnel''' La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Dossier spécial Wikimania</span>''' '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les POV</span>'''<br>— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être<br>— Témoignages : regards sur la Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">L'Analyse</span>''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Comptes-rendus</span>'''<br>— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse<br>— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »<br>— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne<br>— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia<br>— Des événements techniques à Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Interviews</span>'''<br>— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !<br>— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! <span class="smiley">[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]</span> [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC) :Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-33 == <section begin="technews-2026-W33"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001] * <span class="mw-translate-fuzzy">Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>cldsort=timestamp</nowiki></code></bdi> dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.</span> [https://phabricator.wikimedia.org/T433768] * Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W33"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 10 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30901051 --> == Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence == Bonjour. Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement. C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité. En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche. Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche. L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&oldid=1 1^er décembre 2026]. * Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique. * Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour. * Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides. * Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet. Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet. J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ? Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 août 2026 à 15:50 (UTC) :Bonjour, :Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté. :Mon idée, par exemple: :* Études artistiques :** On remplace les quatres département en un seul. :** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki. :* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité, je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. :Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC) ::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul. ::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose. ::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs. ::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué. ::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs. ::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 10:54 (UTC) ::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté "Études artistiques" dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC) :::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table. :::* Ce qui reste à faire en priorité : :::** réparer les "MOOCs" ; :::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon "niveau d'avancement" pour les ébauches]] ; :::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]]. :::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] : :::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ; :::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement) :::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail. :::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC) ::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC) ::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC) :::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 14:05 (UTC) :::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia. :::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki. :::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC) ::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:37 (UTC) ::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple: ::La faculté "Études artistiques" possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille "Études artistiques", dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction. ::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC) : Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) :Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. <br>Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC). ::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:41 (UTC) :Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs : : * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile. : * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée. : * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire. : => Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?). Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... : Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) - une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' => Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:55 (UTC) :Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres "professeurs" les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe ("travaux de groupe" disait on autrefois) : Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une "superintelligence" va-t-elle manger "nos" wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:00 (UTC) P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus. : Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC) :Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 23:48 (UTC) ::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:02 (UTC) :::Je viens de lire ce fil ? :::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ? :::Ou, dois-je dire : "Hourrah ! bonne nouvelle ? :::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees. :::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC) ::::Bonsoir à tous, ::::Je précise ma participation au projet. ::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables. ::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression. ::::Le chantier devrait comprendre six axes : ::::1. Inventaire ::::2. Architecture du site, ::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales, ::::5. Accueil des publics ::::6. Modernisation technique. ::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : ::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; ::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]]. ::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté. ::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : ::::* Ateliers présentiels ::::* Supports publiés sur Wikiversitè ::::* Productions accompagnées ::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants. ::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique : ::::1. le problème traité ::::2. le public concerné ::::3. le responsable ::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. ::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC) :::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants : :::::1. Recherche et thèse, en prenant appui :::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia :::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè :::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon. :::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales & la traçabilité des productions. :::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ; :::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables. :::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable) :::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC) :::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^" Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC) ::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant "pignon sur rue" serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: "leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé"Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC) :::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC) ::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit. ::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon. ::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence. ::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ::::Je suis d'accord pour une visio au cours de la première semaine de novembre. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil== J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace Les coulisses de Wikibook]. La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide. Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité. Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC) :Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran. :Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia. :1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite. :2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite. :3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente. :Voilà tout. :Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres. :Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC) ::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-34</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W34"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC. '''Updates for editors''' * [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>__EXPECTSHORTPAGE__</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203] * One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>w:bol:</nowiki></code></bdi>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921] * Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640] '''Updates for technical contributors''' * Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W34"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17 août 2026 à 21:03 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30922806 --> == Growth/Newsletters/36 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> [[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]] ''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.'' <span id="Recent_releases"></span> === Modifications récentes === <span id="Account_creation_experiments"></span> ==== Expériences de création de compte ==== Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs. * Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]]) * Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) *Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]] *Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option "afficher le mot de passe" et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %). <span id="Revise_Tone_structured_task"></span> ==== Tâche structurée de révision du ton ==== [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton. Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté. [[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité "Revise Tone" sur d'autres wikis. <span id="Automated_mentor_list_cleanup"></span> ==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ==== Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés). L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs. Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]]. <span id="Growth_features_for_Wikidata"></span> ==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ==== Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module "Impact", les actualités de la communauté et le panneau d'aide. <span id="Work_in_progress"></span> === Travail en cours === [[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]] <span id="Home"></span> ==== Accueil ==== Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants. Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun. <span id="Research"></span> === Recherche === L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté : * [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]] * [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] ''<small>'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].</small>'' </div> 18 août 2026 à 13:17 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&oldid=30870183 --> == Actualités techniques n° 2026-35 == <section begin="technews-2026-W35"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783] * Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448] '''Actualités pour la contribution technique''' * La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{#uic:}}</nowiki></code></bdi>. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{Userlinks}}</nowiki></code></bdi>]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466] * En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> (Spécial:Ma_page) avec l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> restent accessibles et utilisables sans <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>User:Myusername</nowiki></code></bdi>) peuvent toujours être utilisées avec <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386] * Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>librsvg</nowiki></code></bdi> a été mis à jour vers la version 2.60 et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ImageMagick</nowiki></code></bdi> vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W35"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 24 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30961208 --> == Actualités techniques n° 2026-36 == <section begin="technews-2026-W36"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines. '''Actualités pour la contribution''' * La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre. * À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés. * Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>onlyredirects:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>withredirects:</nowiki></code></bdi>, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>incategory:</nowiki></code></bdi>, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>intitle:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>insource:</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089] * Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>deepcat</nowiki></code></bdi> pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465] * L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]] '''En détails''' * Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W36"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 31 août 2026 à 20:53 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30990659 --> 3muibsvots5zxjlc9s3znsc6v13fnk3 4 87341 986337 986281 2026-09-07T18:44:44Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-37 */ nouvelle section 986337 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|09}}{{Clr}}</noinclude> == Les RAW sont arrivés, la rentrée peut commencer ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro de&nbsp;septembre 2026 ({{numéro|296}}) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-09-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''C'est la rentrée''' Après un numéro très dense en août en raison de la Wikimania, celui-ci est un peu plus léger car l'équipe s'est octroyée quelques vacances. Cela n'empêche pas le mouvement de continuer à vivre, avec une rentrée déjà animée ! Du côté des projets francophones, le Wiktionnaire vient de franchir le cap symbolique des sept millions d’entrées, tandis que Wikipédia continue de voir fleurir sondages et discussions sur son fonctionnement. Une rentrée, donc, placée sous le signe de la construction collective : de nouveaux outils pour contribuer, de nouveaux espaces pour échanger, de nouvelles formes d’organisation… Ce numéro des RAW vous propose de faire le tour de cette actualité, avant de reprendre tranquillement le chemin des projets Wikimédia. L'équipe de la rédaction a également commencé à réfléchir à un nouveau nom pour remplacer l'énigmatique « RAW ». N'hésitez pas à venir donner votre avis dans la [[:w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Changement de nom|section dédiée]] ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 septembre 2026 à 22:15 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-37 == <section begin="technews-2026-W37"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/37|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Tools/Add_a_link|Ajouter un lien]] a été améliorée pour les utilisateurs de Wikipédia en anglais, avec une meilleure détection des liens présentant des différences de majuscules. Cela permettra de réduire les suggestions ambiguës dues aux différences de majuscules dans les titres d'articles, notamment ceux consacrés aux biens culturels. Une deuxième phase d'améliorations est prévue, qui permettra également de préparer cette fonctionnalité en vue de son déploiement dans d'autres langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T435526#12240876] [https://phabricator.wikimedia.org/T434259] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Article_guidance|Guide des articles]] sera activée par défaut pour les contributeurs débutants sur Wikipédia en anglais simplifié et en turc à compter du 10 septembre 2026, à la suite d'[[mw:Special:MyLanguage/Article_guidance/Updates#Summary_of_experiment_result|une expérience]]. Les contributeurs débutants ayant effectué entre 0 et 99 modifications verront automatiquement s'afficher cette fonctionnalité lorsqu'ils cliqueront sur un lien rouge ou utiliseront l'option « [[tr:Vikipedi:Madde_sihirbazı|Madde oluşturto]] » sur Wikipédia en turc pour créer un nouvel article. Ce changement vise à aider les contributeurs débutants à créer des articles de meilleure qualité, conformes aux normes de chaque Wikipédia. [[phab:maniphest/query/z3tcTjmLMxk5/#R|D'autres améliorations]] seront apportées en fonction des résultats de l'expérience et des retours de la communauté. * L'outil [https://pageviews.wmcloud.org « Analyse des pages vues »], qui permet aux utilisateurs de comparer le nombre de pages vues sur plusieurs pages, fête cette année ses 10 ans et s'est enrichi de plusieurs nouvelles fonctionnalités. Parmi celles-ci figurent [[toolforge:wikinav|WikiNav]], qui donne un aperçu de la manière dont les lecteurs de Wikipédia explorent le contenu, les statistiques d'édition dans [https://pageviews.wmcloud.org/siteviews?range=latest-30&sites=en.wikipedia.org « Vues du site »], la possibilité de [https://pageviews.wmcloud.org/massviews?source=wikiproject&project=en.wikipedia.org rechercher des articles appartenant à un projet Wiki] et la prise en charge du mode sombre. [https://phabricator.wikimedia.org/T378549] * Une barre de navigation [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|Minerva, visuellement simplifiée]] est actuellement testée auprès des lecteurs non connectés utilisant la version mobile des Wikipédias en bengali, tchèque, anglais, farsi et polonais. Cette expérience vise à déterminer si la simplification de la navigation permet de fidéliser davantage les lecteurs. Le test se déroulera du 31 août au 28 septembre et ne nécessite aucune intervention de la part des utilisateurs. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] travaille à l'amélioration des [[en:Wikipedia:VisualEditor/Named references|noms de référence générés automatiquement dans VisualEditor]]. Les contributeurs ne remarqueront qu'un léger changement à partir de cette semaine. Lors de l'ajout de noms de référence automatiques, la numérotation commencera par <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>:1</nowiki></code></bdi> au lieu de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>:0</nowiki></code></bdi>. Pour en savoir plus, consultez la [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names|page du projet]]. [https://gerrit.wikimedia.org/r/c/VisualEditor/VisualEditor/+/1332704] * Tous les wikis seront [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|en lecture seule pendant quelques minutes]] le 23 septembre. Cette opération est prévue à 14h UTC. De plus amples informations seront publiées dans la rubrique « Tech News » et seront également mises en ligne sur chaque wiki au cours des prochaines semaines. [https://phabricator.wikimedia.org/T433363] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:25|la tâche soumise|les {{formatnum:25}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:25||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème lié au fait que [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid|Parsoid]] pouvait mal gérer les balises nowiki imbriquées, entraînant la perte de contenu et l'affichage de texte indésirable, a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T435116] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les administrateurs de l'interface peuvent configurer les gadgets à partir de [[MediaWiki:Gadgets-definition]]. Le format de définition a été mis à jour et ne nécessite plus l'option <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ResourceLoader</nowiki></code></bdi>, car les gadgets sont toujours chargés via <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ResourceLoader</nowiki></code></bdi>. Cela simplifie la configuration des gadgets en supprimant une option qui n'est plus nécessaire, ce qui facilite la tâche des administrateurs lors de la définition des gadgets. [https://phabricator.wikimedia.org/T298199] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.19|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/37|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W37"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 7 septembre 2026 à 18:44 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31008437 --> f02oiybo1gahtrmw2md0pfvauxmoqfl 1 87343 986344 2026-09-08T06:39:48Z ~2026-48801-87 80954 /* l'évolution des objectif de santé publique de l'antiquité a nos jour */ nouvelle section 986344 wikitext text/x-wiki == l'évolution des objectif de santé publique de l'antiquité a nos jour == gvyugu [[Spécial:Contributions/~2026-48801-87|~2026-48801-87]] ([[Discussion utilisateur:~2026-48801-87|discussion]]) 8 septembre 2026 à 06:39 (UTC) atx1lfbcsd4yy7jwfjmro460qs01u92 0 87344 986346 2026-09-08T07:18:30Z Yayetta12 80754 Connaitre les voix verbales pour mieux construire sa conjugaison 986346 wikitext text/x-wiki # La voix du verbe : active ou passive ## 1. Qu’est-ce que la voix du verbe ? La **voix du verbe** permet de savoir comment le sujet participe à l’action. Il existe principalement **deux voix** : la **voix active** et la **voix passive**. ### 2. La voix active À la **voix active**, le sujet **fait l’action**. **Exemple :** → *Le chat mange la souris.* C’est **le chat** qui fait l’action de manger. Le sujet **« le chat »** réalise donc l’action. Autres exemples : * *Paul ouvre la porte.* → Paul fait l’action. * *La fille dessine une fleur.* → La fille fait l’action. * *Les enfants construisent un château.* → Les enfants font l’action. **À retenir :** 👉 **Voix active = le sujet fait l’action.** ### 3. La voix passive À la **voix passive**, le sujet **subit l’action** : il ne fait pas l’action, mais il la reçoit. **Exemple :** → *La souris est mangée par le chat.* C’est **le chat** qui fait l’action de manger, mais **la souris** subit cette action. Autres exemples : * *La porte est ouverte par Paul.* → La porte subit l’action d’ouvrir. * *La fleur est dessinée par la fille.* → La fleur subit l’action de dessiner. * *Le château est construit par les enfants.* → Le château subit l’action de construire. **À retenir :** 👉 **Voix passive = le sujet subit l’action.** ### 4. Comment reconnaître les deux voix ? On peut se poser une question très simple : **Est-ce que le sujet fait l’action ?** * Oui → **voix active** * Non, il subit l’action → **voix passive** **Exemple :** *Le chien poursuit le chat.* → Le chien fait l’action de poursuivre. → **Voix active.** *Le chat est poursuivi par le chien.* → Le chat subit l’action. → **Voix passive.** ### 5. La transformation Une phrase active peut souvent être transformée en phrase passive. **Voix active :** *Le garçon mange la pomme.* **Voix passive :** *La pomme est mangée par le garçon.* À la voix active, **le garçon** fait l’action. À la voix passive, **la pomme** subit l’action. ### 6. Petit résumé **Voix active :** le sujet **fait** l’action. → *Le chat attrape la souris.* **Voix passive :** le sujet **subit** l’action. → *La souris est attrapée par le chat.* ### 7. À retenir 🟢 **ACTIVE → le sujet fait l’action.** 🔵 **PASSIVE → le sujet subit l’action.** P | idfaculté = <!-- le même que la leçon (en minuscules) --> | niveau = <!-- le même que la leçon --> | numéro = | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> | page_liée = | page_liée2 = }} <!-- insérez le contenu de votre chapitre ici --> {{Bas de page | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> nj4kcomuzpnurbb563jmzuxwm9gr05p 986355 986346 2026-09-08T09:18:21Z Geoleplubo 7999 wiki 986355 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = français | numéro = 4 | précédent = [[../Les modes et les temps/]] | suivant = | niveau = 3 }} # La voix du verbe : active ou passive ## 1. Qu’est-ce que la voix du verbe ? La **voix du verbe** permet de savoir comment le sujet participe à l’action. Il existe principalement **deux voix** : la **voix active** et la **voix passive**. ### 2. La voix active À la **voix active**, le sujet **fait l’action**. **Exemple :** → *Le chat mange la souris.* C’est **le chat** qui fait l’action de manger. Le sujet **« le chat »** réalise donc l’action. Autres exemples : * *Paul ouvre la porte.* → Paul fait l’action. * *La fille dessine une fleur.* → La fille fait l’action. * *Les enfants construisent un château.* → Les enfants font l’action. **À retenir :** 👉 **Voix active = le sujet fait l’action.** ### 3. La voix passive À la **voix passive**, le sujet **subit l’action** : il ne fait pas l’action, mais il la reçoit. **Exemple :** → *La souris est mangée par le chat.* C’est **le chat** qui fait l’action de manger, mais **la souris** subit cette action. Autres exemples : * *La porte est ouverte par Paul.* → La porte subit l’action d’ouvrir. * *La fleur est dessinée par la fille.* → La fleur subit l’action de dessiner. * *Le château est construit par les enfants.* → Le château subit l’action de construire. **À retenir :** 👉 **Voix passive = le sujet subit l’action.** ### 4. Comment reconnaître les deux voix ? On peut se poser une question très simple : **Est-ce que le sujet fait l’action ?** * Oui → **voix active** * Non, il subit l’action → **voix passive** **Exemple :** *Le chien poursuit le chat.* → Le chien fait l’action de poursuivre. → **Voix active.** *Le chat est poursuivi par le chien.* → Le chat subit l’action. → **Voix passive.** ### 5. La transformation Une phrase active peut souvent être transformée en phrase passive. **Voix active :** *Le garçon mange la pomme.* **Voix passive :** *La pomme est mangée par le garçon.* À la voix active, **le garçon** fait l’action. À la voix passive, **la pomme** subit l’action. ### 6. Petit résumé **Voix active :** le sujet **fait** l’action. → *Le chat attrape la souris.* **Voix passive :** le sujet **subit** l’action. → *La souris est attrapée par le chat.* ### 7. À retenir 🟢 **ACTIVE → le sujet fait l’action.** 🔵 **PASSIVE → le sujet subit l’action.** {{Bas de page | idfaculté = français | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 7aanv6sb7cl3qkwtin31h0hwdz6idba 0 87345 986347 2026-09-08T07:27:06Z Yayetta12 80754 Page créée avec « # 📚 La ponctuation ## 1. Qu’est-ce que la ponctuation ? La **ponctuation** sert à organiser les phrases et à mieux les comprendre. Elle nous indique notamment : * quand une phrase **s’arrête** ; * quand quelqu’un **pose une question** ; * quand quelqu’un **s’exclame** ou montre une émotion ; * quand il faut faire une **petite pause** en lisant. Les signes de ponctuation sont comme des petits **repères pour le lecteur**. --- ## 2. Le point... » 986347 wikitext text/x-wiki # 📚 La ponctuation ## 1. Qu’est-ce que la ponctuation ? La **ponctuation** sert à organiser les phrases et à mieux les comprendre. Elle nous indique notamment : * quand une phrase **s’arrête** ; * quand quelqu’un **pose une question** ; * quand quelqu’un **s’exclame** ou montre une émotion ; * quand il faut faire une **petite pause** en lisant. Les signes de ponctuation sont comme des petits **repères pour le lecteur**. --- ## 2. Le point « . » Le **point** se place à la fin d’une phrase. Il indique que la phrase est **terminée**. ### Exemples : * Le chat dort. * Léa joue dans le jardin. * J’aime les histoires. Quand je vois un point, **je m’arrête**. 👉 À l’écrit, après un point, on commence généralement la phrase suivante par une **majuscule**. **Exemple :** > Tom mange une pomme. Il boit de l’eau. --- ## 3. Le point d’interrogation « ? » Le **point d’interrogation** se place à la fin d’une **question**. Une question sert à demander quelque chose. ### Exemples : * Comment t’appelles-tu ? * Où est mon sac ? * Tu viens avec moi ? * Quel âge as-tu ? Quand je vois **?**, je sais que la personne **pose une question**. 👉 À la lecture, la voix monte souvent à la fin de la question. --- ## 4. Le point d’exclamation « ! » Le **point d’exclamation** se place à la fin d’une phrase qui exprime une **émotion**, un ordre, une surprise ou une réaction forte. Il peut exprimer : * la joie ; * la peur ; * la colère ; * la surprise ; * l’admiration. ### Exemples : * Comme c’est beau ! * Attention ! * Quelle surprise ! * J’ai gagné ! * Arrête ! Quand je vois **!**, je lis avec **plus d’énergie ou d’émotion**. --- ## 5. La virgule « , » La **virgule** indique généralement une **petite pause** dans la phrase. Elle permet aussi de séparer plusieurs éléments. ### Exemple : > Dans mon sac, j’ai un livre, une trousse et un cahier. On peut aussi utiliser une virgule pour faire une petite pause quand on parle : > Après l’école, je rentre à la maison. ⚠️ La virgule ne termine pas une phrase. Le **point**, lui, termine la phrase. --- ## 6. Les deux-points « : » Les **deux-points** annoncent souvent quelque chose que l’on va expliquer ou énumérer. ### Exemple : > Dans mon cartable, j’ai : un livre, un cahier et une trousse. Ils peuvent aussi annoncer les paroles de quelqu’un. ### Exemple : > Maman dit : « Viens manger ! » Au CP, il suffit surtout de retenir : 👉 **Les deux-points annoncent souvent quelque chose.** --- ## 7. Les guillemets « » Les **guillemets** servent notamment à montrer les paroles ou les mots que quelqu’un dit. ### Exemple : > Paul dit : « Bonjour ! » Les mots **« Bonjour ! »** sont les paroles de Paul. On peut aussi utiliser les guillemets pour mettre un mot en évidence : > Le mot « chat » commence par la lettre c. --- ## 8. Les points de suspension « … » Les **points de suspension** sont formés de **trois points**. Ils indiquent que la phrase n’est pas complètement terminée, qu’on hésite ou qu’on laisse imaginer la suite. ### Exemples : > Je ne sais pas… > Si seulement je pouvais… Au CP, on peut retenir : 👉 **… signifie que la phrase continue ou que l’on laisse la suite en suspens.** --- # 🧠 Les principaux signes de ponctuation à connaître | Signe | Nom | À quoi sert-il ? | | ------- | --------------------- | ----------------------------------------------- | | **.** | point | termine une phrase | | **?** | point d’interrogation | termine une question | | **!** | point d’exclamation | exprime une émotion ou une réaction forte | | **,** | virgule | indique une petite pause ou sépare des éléments | | **:** | deux-points | annonce souvent quelque chose | | **« »** | guillemets | montrent notamment des paroles | | **…** | points de suspension | montrent que la phrase reste en suspens | --- # ✏️ 9. La ponctuation et les majuscules Lorsqu’un point termine une phrase, la phrase suivante commence par une **majuscule**. ### Exemple : ❌ le chien court. il joue dans le jardin. ✅ Le chien court. Il joue dans le jardin. La majuscule aide à voir le début d’une nouvelle phrase. --- # 👀 10. Comment reconnaître le bon signe ? Pour choisir le signe de ponctuation, je me demande : ### Est-ce une phrase normale ? ➡️ Je peux mettre un **point**. > Le soleil brille. ### Est-ce une question ? ➡️ Je mets un **point d’interrogation**. > Où vas-tu ? ### Est-ce une phrase avec une émotion forte ? ➡️ Je peux mettre un **point d’exclamation**. > Quelle belle surprise ! ### Est-ce que je veux faire une petite pause ? ➡️ Je peux utiliser une **virgule**. > Ce matin, je vais à l’école. --- # 📖 11. La ponctuation quand je lis La ponctuation m’aide à **bien lire**. ### Le point « . » 🛑 Je m’arrête. ### La virgule « , » ⏸️ Je fais une petite pause. ### Le point d’interrogation « ? » ❓ Je montre que je pose une question. ### Le point d’exclamation « ! » ❗ Je mets de l’émotion dans ma voix. ### Exemple : > Tom arrive à la maison. Il crie : « Maman ! Où es-tu ? » Grâce à la ponctuation, je sais comment lire cette phrase. --- # 🎯 12. Attention au sens de la phrase ! La ponctuation peut parfois **changer le sens ou la manière de lire une phrase**. Compare : > Tu viens. C’est une affirmation. > Tu viens ? C’est une question. > Tu viens ! C’est une réaction forte, par exemple de la joie ou de la surprise. Les mots sont presque les mêmes, mais le signe de ponctuation change la manière de comprendre la phrase. --- # 📝 13. Ce qu’il faut retenir ⭐ **Le point (.)** termine une phrase. ⭐ **Le point d’interrogation (?)** termine une question. ⭐ **Le point d’exclamation (!)** exprime une émotion, une réaction forte ou peut donner un ordre. ⭐ **La virgule (,)** indique une petite pause ou sépare plusieurs éléments. ⭐ **Les deux-points (:)** annoncent souvent une explication, une liste ou des paroles. ⭐ **Les guillemets (« »)** peuvent montrer les paroles de quelqu’un. ⭐ **Les points de suspension (…)** montrent que la phrase reste en suspens. --- # 🧩 Petit moyen de mémoriser **. → Je termine.** **? → Je demande.** **! → Je m’exclame.** **, → Je fais une petite pause.** **: → J’annonce.** **« » → Je rapporte des paroles.** **… → Je laisse la phrase en suspens.** ## 🌟 À retenir pour le CP Les signes les plus importants à connaître en priorité sont : **. le point** **? le point d’interrogation** **! le point d’exclamation** **, la virgule** Ils permettent de **bien écrire les phrases et de bien les lire**. fqdhoa4x6828pb1nttzjct6ilku4gaa 0 87346 986348 2026-09-08T07:32:55Z Yayetta12 80754 Page créée avec « LES ADVERBES INTERROGATIFS 1. Qu’est-ce qu’une question ? Une question est une phrase dans laquelle on demande une information. Quand on pose une question, on attend une réponse. Exemples : Tu vas à l’école ? Quel âge as-tu ? Où habite Léo ? Quand arrives-tu ? Une question se termine généralement par un point d’interrogation : ? Pour poser une question, on peut utiliser des mots interrogatifs. Certains de ces mots sont des adverbes interrog... » 986348 wikitext text/x-wiki LES ADVERBES INTERROGATIFS 1. Qu’est-ce qu’une question ? Une question est une phrase dans laquelle on demande une information. Quand on pose une question, on attend une réponse. Exemples : Tu vas à l’école ? Quel âge as-tu ? Où habite Léo ? Quand arrives-tu ? Une question se termine généralement par un point d’interrogation : ? Pour poser une question, on peut utiliser des mots interrogatifs. Certains de ces mots sont des adverbes interrogatifs. 2. Qu’est-ce qu’un adverbe interrogatif ? Un adverbe interrogatif est un mot qui sert à poser une question. Il permet de demander une information précise. Les principaux adverbes interrogatifs que l’on rencontre sont : OÙ ? QUAND ? COMMENT ? POURQUOI ? Ces quatre mots ne demandent pas tous la même information. Il faut donc bien comprendre ce que chacun veut dire. 3. L’adverbe interrogatif « où » « Où » sert à demander un lieu. Quand je demande « où ? », je veux savoir dans quel endroit se trouve une personne, un animal ou une chose, ou dans quel endroit une action se passe. Exemples : Où habites-tu ? Où est mon cartable ? Où joue le chat ? Où vas-tu ? Où sont mes chaussures ? Les réponses peuvent être : J’habite à Paris. Mon cartable est dans la classe. Le chat joue dans le jardin. Je vais à l’école. Mes chaussures sont sous le lit. À retenir : OÙ ? → LE LIEU Pour mémoriser, je peux penser : Où ? → Dans quel endroit ? 4. L’adverbe interrogatif « quand » « Quand » sert à demander un moment ou une date. Quand je demande « quand ? », je veux savoir à quel moment une action se passe. Exemples : Quand arrives-tu ? Quand commence l’école ? Quand vas-tu chez mamie ? Quand est ton anniversaire ? Quand part le train ? Les réponses peuvent être : J’arrive demain. L’école commence à huit heures. Je vais chez mamie dimanche. Mon anniversaire est en juin. Le train part à midi. À retenir : QUAND ? → LE MOMENT Pour mémoriser, je peux penser : Quand ? → À quel moment ? 5. L’adverbe interrogatif « comment » « Comment » sert principalement à demander de quelle manière quelque chose se passe ou comment on fait quelque chose. Exemples : Comment vas-tu ? Comment fais-tu ce dessin ? Comment fonctionne ce jeu ? Comment rentres-tu à la maison ? Comment as-tu fait cela ? Les réponses peuvent être : Je vais bien. Je fais ce dessin avec un crayon. Je joue avec mes amis. Je rentre en bus. J’ai fait cela avec mes mains. « Comment ? » peut aussi servir à demander le nom d’une personne. Exemple : Comment t’appelles-tu ? Réponse : Je m’appelle Lina. À retenir : COMMENT ? → LA MANIÈRE Pour mémoriser, je peux penser : Comment ? → De quelle manière ? 6. L’adverbe interrogatif « pourquoi » « Pourquoi » sert à demander la raison ou la cause de quelque chose. Quand je demande « pourquoi ? », je veux savoir pour quelle raison une action se produit. Exemples : Pourquoi pleures-tu ? Pourquoi es-tu en retard ? Pourquoi le bébé dort-il ? Pourquoi fermes-tu la porte ? Pourquoi fais-tu tes devoirs ? Les réponses peuvent être : Je pleure parce que je suis triste. Je suis en retard parce que le bus est arrivé tard. Le bébé dort parce qu’il est fatigué. Je ferme la porte parce qu’il fait froid. Je fais mes devoirs parce que j’ai une leçon à apprendre. À retenir : POURQUOI ? → LA RAISON Pour mémoriser, je peux penser : Pourquoi ? → Pour quelle raison ? 7. « Pourquoi ? » et « parce que » Très souvent, une question avec « pourquoi » reçoit une réponse avec « parce que ». Exemple : Pourquoi prends-tu ton manteau ? Parce qu’il fait froid. Autre exemple : Pourquoi vas-tu à l’école ? Parce que je dois apprendre. On peut donc retenir : POURQUOI ? → PARCE QUE... Attention : ce n’est pas toujours obligatoire de répondre avec « parce que », mais c’est très fréquent. 8. Les quatre principaux adverbes interrogatifs Il faut bien distinguer les quatre mots. OÙ ? → le lieu QUAND ? → le moment COMMENT ? → la manière POURQUOI ? → la raison Exemples : Où vas-tu ? → Je vais à l’école. Quand vas-tu à l’école ? → J’y vais lundi. Comment vas-tu à l’école ? → J’y vais à pied. Pourquoi vas-tu à l’école ? → Parce que je dois apprendre. Les mots interrogatifs changent, et la question ne demande donc pas la même information. 9. Comment choisir le bon adverbe interrogatif ? Pour choisir le bon mot, je regarde ce que je veux savoir. Si je veux connaître un lieu, je demande : OÙ ? Exemple : Où est le chien ? Si je veux connaître un moment, je demande : QUAND ? Exemple : Quand arrives-tu ? Si je veux connaître une manière, je demande : COMMENT ? Exemple : Comment fais-tu ? Si je veux connaître une raison, je demande : POURQUOI ? Exemple : Pourquoi ris-tu ? 10. Une petite astuce pour mémoriser Je peux me poser quatre questions : OÙ ? → Où cela se passe-t-il ? QUAND ? → À quel moment ? COMMENT ? → De quelle manière ? POURQUOI ? → Pour quelle raison ? Ces quatre questions permettent de retrouver facilement le bon adverbe interrogatif. 11. Attention à ne pas confondre « où » et « quand » « Où » demande un lieu. Exemple : Où vas-tu ? → Je vais au parc. « Quand » demande un moment. Exemple : Quand vas-tu au parc ? → J’y vais demain. Donc : OÙ = endroit QUAND = moment 12. Attention à ne pas confondre « comment » et « pourquoi » « Comment » demande une manière. Exemple : Comment vas-tu à l’école ? → Je vais à l’école à pied. « Pourquoi » demande une raison. Exemple : Pourquoi vas-tu à l’école ? → Parce que j’ai classe. Donc : COMMENT = manière POURQUOI = raison 13. L’accent dans « où » Il faut faire attention à l’écriture du mot « où ». Quand « où » sert à poser une question sur un lieu, il prend un accent grave : OÙ est mon livre ? OÙ vas-tu ? OÙ habites-tu ? Le mot « ou » sans accent existe aussi, mais il ne sert pas à poser une question sur un lieu. « Ou » signifie « l’un ou l’autre ». Exemple : Tu veux une pomme ou une banane ? Donc : OÙ = un lieu OU = un choix 14. Le point d’interrogation Une question se termine généralement par un point d’interrogation. Exemples : Où vas-tu ? Quand arrives-tu ? Comment fais-tu ? Pourquoi pleures-tu ? Il ne faut pas oublier le signe « ? ». Le point d’interrogation montre au lecteur que la phrase est une question. 15. Les adverbes interrogatifs au début de la phrase À l’école primaire, les adverbes interrogatifs se trouvent souvent au début de la question. Exemples : Où est ton cahier ? Quand commence le film ? Comment fais-tu ce dessin ? Pourquoi ris-tu ? Le mot interrogatif permet de comprendre immédiatement ce que l’on cherche à savoir. 16. Les adverbes interrogatifs dans des phrases plus longues Un adverbe interrogatif peut être suivi d’une phrase plus longue. Exemples : Où vas-tu après l’école ? Quand vas-tu jouer avec tes amis ? Comment fais-tu pour ranger ta chambre ? Pourquoi prends-tu ton parapluie quand il pleut ? Même si la question est plus longue, le rôle du mot interrogatif reste le même. Où → lieu Quand → moment Comment → manière Pourquoi → raison 17. Les adverbes interrogatifs servent à obtenir une information Une question avec un adverbe interrogatif attend généralement une réponse précise. Exemple : Où est le chat ? Je ne réponds pas seulement « oui » ou « non ». Je dois donner un lieu : Le chat est dans le jardin. Autre exemple : Quand viens-tu ? Je dois donner un moment : Je viens demain. Autre exemple : Pourquoi portes-tu un manteau ? Je dois donner une raison : Parce qu’il fait froid. 18. Construire une question Pour construire une question, je peux commencer par choisir ce que je veux savoir. Je veux connaître le lieu. → OÙ ? Je veux connaître le moment. → QUAND ? Je veux connaître la manière. → COMMENT ? Je veux connaître la raison. → POURQUOI ? Ensuite, je construis ma question. Exemples : Où est mon livre ? Quand partons-nous ? Comment fais-tu ce gâteau ? Pourquoi fermes-tu la fenêtre ? 19. Exemples à observer Observe les questions suivantes : Où est la balle ? → Je cherche un lieu. Quand commence la récréation ? → Je cherche un moment. Comment dessines-tu un chat ? → Je cherche une manière. Pourquoi le chien aboie-t-il ? → Je cherche une raison. Il faut toujours se demander : « Qu’est-ce que la personne veut savoir ? » 20. Petit résumé Les adverbes interrogatifs servent à poser des questions. Les quatre principaux adverbes interrogatifs sont : OÙ ? Il demande un lieu. QUAND ? Il demande un moment. COMMENT ? Il demande une manière. POURQUOI ? Il demande une raison. Je peux les mémoriser ainsi : OÙ → LIEU QUAND → MOMENT COMMENT → MANIÈRE POURQUOI → RAISON 21. Ce qu’il faut absolument retenir OÙ ? → dans quel endroit ? QUAND ? → à quel moment ? COMMENT ? → de quelle manière ? POURQUOI ? → pour quelle raison ? Exemples : Où est Léa ? → Dans la classe. Quand arrive Léa ? → Demain. Comment vient Léa ? → En bus. Pourquoi vient Léa ? → Parce qu’elle veut jouer. 22. La règle à retenir Quand je veux poser une question, je réfléchis à l’information que je cherche. Je cherche un lieu : → OÙ ? Je cherche un moment : → QUAND ? Je cherche une manière : → COMMENT ? Je cherche une raison : → POURQUOI ? Ces petits mots m’aident à poser des questions claires et à obtenir les bonnes informations. ma00x7w6y4ilqrw65utiusmxqiyaufl 0 87347 986349 2026-09-08T07:37:52Z Yayetta12 80754 Page créée avec « L’ADJECTIF ÉPITHÈTE Un adjectif est un mot qui sert à donner des informations sur une personne, un animal, une chose ou un lieu. Il permet de dire comment est quelqu’un ou quelque chose. Par exemple, dans « un petit chat », le mot « petit » donne une information sur le chat. « Petit » est un adjectif. Dans « une fleur rouge », le mot « rouge » donne une information sur la fleur. « Rouge » est aussi un adjectif. Quand un adjectif est placé ju... » 986349 wikitext text/x-wiki L’ADJECTIF ÉPITHÈTE Un adjectif est un mot qui sert à donner des informations sur une personne, un animal, une chose ou un lieu. Il permet de dire comment est quelqu’un ou quelque chose. Par exemple, dans « un petit chat », le mot « petit » donne une information sur le chat. « Petit » est un adjectif. Dans « une fleur rouge », le mot « rouge » donne une information sur la fleur. « Rouge » est aussi un adjectif. Quand un adjectif est placé juste à côté d’un nom pour le décrire, on dit que c’est un adjectif épithète. Le nom est le mot qui désigne une personne, un animal, une chose ou un lieu, et l’adjectif épithète donne une information sur ce nom. Par exemple, dans « un gros chien », « chien » est le nom et « gros » est l’adjectif épithète. Dans « une jolie maison », « maison » est le nom et « jolie » est l’adjectif épithète. L’adjectif épithète peut être placé avant le nom. Par exemple, dans « un petit garçon », l’adjectif « petit » est placé avant le nom « garçon ». Dans « une grande maison », « grande » est placé avant « maison ». Dans « un joli dessin », « joli » est placé avant « dessin ». L’adjectif épithète peut aussi être placé après le nom. Par exemple, dans « une robe rouge », le nom « robe » est suivi de l’adjectif « rouge ». Dans « un ballon rond », « rond » est placé après « ballon ». Dans « un gâteau délicieux », « délicieux » est placé après « gâteau ». Pour trouver l’adjectif épithète dans une phrase, je peux d’abord chercher le nom. Ensuite, je cherche le petit mot qui donne une information sur ce nom. Par exemple, dans la phrase « Le petit chat dort. », le nom est « chat ». Quel mot donne une information sur le chat ? C’est « petit ». « Petit » est donc l’adjectif épithète. Dans la phrase « La voiture rouge roule vite. », le nom est « voiture ». Le mot « rouge » donne une information sur la voiture. « Rouge » est donc l’adjectif épithète. Dans la phrase « Le grand chien aboie. », le nom est « chien ». Le mot « grand » nous dit comment est le chien. « Grand » est donc l’adjectif épithète. L’adjectif épithète peut donner beaucoup de sortes d’informations. Il peut indiquer une taille, une couleur, une forme, un aspect ou une qualité. Par exemple, dans « une grande maison », « grande » indique la taille. Dans « une pomme verte », « verte » indique la couleur. Dans « une balle ronde », « ronde » indique la forme. Dans « un joli cadeau », « joli » indique une qualité. L’adjectif épithète doit s’accorder avec le nom. Cela veut dire qu’il change parfois pour aller avec le nom. Quand le nom est masculin singulier, l’adjectif peut être masculin singulier. Par exemple : « un petit garçon ». Quand le nom est féminin singulier, l’adjectif peut prendre un « e ». Par exemple : « une petite fille ». Le nom « garçon » est masculin, alors on dit « petit ». Le nom « fille » est féminin, alors on dit « petite ». L’adjectif peut aussi changer lorsqu’il y a plusieurs personnes, animaux ou choses. Par exemple, on dit « un petit chat » pour un seul chat et « des petits chats » pour plusieurs chats. On dit « une petite fille » pour une seule fille et « des petites filles » pour plusieurs filles. Il faut donc regarder le nom pour savoir quelle forme doit prendre l’adjectif. Par exemple, dans « une grande maison », « grande » décrit « maison ». Comme « maison » est un nom féminin singulier, on écrit « grande ». Dans « des grandes maisons », il y a plusieurs maisons, alors on écrit « grandes ». L’adjectif épithète peut parfois être très important pour comprendre exactement de quoi on parle. Par exemple, « une voiture » peut être n’importe quelle voiture. Mais « une voiture rouge » donne une information supplémentaire. On sait maintenant que la voiture est rouge. De la même façon, « un chat » est très général, tandis que « un petit chat noir » donne beaucoup plus d’informations sur le chat. Dans une phrase, il peut y avoir plusieurs adjectifs épithètes. Par exemple : « Le petit chat noir dort. » Le nom est « chat ». Les mots « petit » et « noir » donnent tous les deux des informations sur le chat. Ce sont donc deux adjectifs épithètes. On peut aussi trouver plusieurs adjectifs dans une phrase avec plusieurs noms. Par exemple : « La petite fille regarde un gros chien. » Le mot « petite » décrit « fille » et le mot « gros » décrit « chien ». Ce sont deux adjectifs épithètes. Il faut faire attention à ne pas confondre le nom et l’adjectif. Dans « une fleur rouge », « fleur » est le nom parce que c’est ce que l’on désigne. « Rouge » est l’adjectif parce qu’il donne une information sur la fleur. Dans « un grand arbre », « arbre » est le nom et « grand » est l’adjectif épithète. Pour reconnaître facilement un adjectif épithète, je peux poser une petite question : « Comment est le nom ? » Par exemple, dans « un ballon bleu », je cherche le nom : « ballon ». Je demande ensuite : « Comment est le ballon ? » Il est « bleu ». « Bleu » est donc l’adjectif épithète. Dans « une jolie fleur », je cherche le nom : « fleur ». Je demande : « Comment est la fleur ? » Elle est « jolie ». « Jolie » est donc l’adjectif épithète. Dans « un long chemin », je cherche le nom : « chemin ». Je demande : « Comment est le chemin ? » Il est « long ». « Long » est donc l’adjectif épithète. Dans « une petite maison blanche », le nom est « maison ». Les mots « petite » et « blanche » donnent des informations sur la maison. Ce sont donc des adjectifs épithètes. Il faut retenir que l’adjectif épithète est un mot qui accompagne directement un nom pour le décrire ou donner une information sur lui. Il peut être placé avant ou après le nom. Il peut changer de forme pour s’accorder avec le nom. Par exemple, dans « un petit chien », « chien » est le nom et « petit » est l’adjectif épithète. Dans « une petite chienne », « chienne » est le nom et « petite » est l’adjectif épithète. Dans « des petits chiens », « chiens » est le nom et « petits » est l’adjectif épithète. Dans « des petites chiennes », « chiennes » est le nom et « petites » est l’adjectif épithète. Pour trouver un adjectif épithète dans une phrase, je peux suivre trois étapes. D’abord, je cherche le nom. Ensuite, je cherche le mot qui donne une information sur ce nom. Enfin, je vérifie que ce mot est bien un adjectif et qu’il accompagne directement le nom. Par exemple : « Le joli papillon vole. » Je cherche le nom : « papillon ». Je cherche ensuite le mot qui donne une information sur le papillon : « joli ». « Joli » est donc l’adjectif épithète. Un autre exemple : « La robe bleue est belle. » Le nom est « robe ». Le mot « bleue » donne une information sur la robe. « Bleue » est donc l’adjectif épithète. Dans « Les grands arbres bougent. », le nom est « arbres ». Le mot « grands » décrit les arbres. « Grands » est donc l’adjectif épithète. Dans « Le petit lapin blanc mange une carotte. », « lapin » est le nom, et « petit » et « blanc » sont deux adjectifs épithètes qui donnent des informations sur le lapin. L’adjectif épithète permet donc de rendre les phrases plus précises. Il ajoute des informations au nom et aide le lecteur à mieux imaginer ce dont on parle. À retenir : un adjectif épithète est un mot qui décrit un nom. Il donne une information sur une personne, un animal, une chose ou un lieu. Il est placé directement à côté du nom, avant ou après lui. Pour le trouver, je cherche le nom et je me demande : « Comment est-il ? » ou « Comment est-elle ? » Exemples : « un petit chat » : « petit » est l’adjectif épithète de « chat ». « une robe rouge » : « rouge » est l’adjectif épithète de « robe ». « un grand arbre » : « grand » est l’adjectif épithète de « arbre ». « une jolie fleur » : « jolie » est l’adjectif épithète de « fleur ». « des maisons blanches » : « blanches » est l’adjectif épithète de « maisons ». L’adjectif épithète est donc un mot qui accompagne le nom pour le rendre plus précis et pour nous aider à mieux savoir comment est la personne, l’animal, la chose ou le lieu dont on parle. ffxs5sdzpkirejo2ao8g2g4yko793ds 0 87348 986350 2026-09-08T07:39:25Z Yayetta12 80754 Page créée avec « L’ADJECTIF VERBAL L’adjectif verbal est un mot qui vient d’un verbe, mais qui sert à décrire une personne, un animal, une chose ou une situation. Il fonctionne donc comme un adjectif : il donne une information sur un nom. Par exemple, dans « un enfant obéissant », le mot « obéissant » vient du verbe « obéir ». Mais dans cette phrase, il ne dit pas ce que fait l’enfant à un moment précis. Il décrit l’enfant. « Obéissant » est donc un a... » 986350 wikitext text/x-wiki L’ADJECTIF VERBAL L’adjectif verbal est un mot qui vient d’un verbe, mais qui sert à décrire une personne, un animal, une chose ou une situation. Il fonctionne donc comme un adjectif : il donne une information sur un nom. Par exemple, dans « un enfant obéissant », le mot « obéissant » vient du verbe « obéir ». Mais dans cette phrase, il ne dit pas ce que fait l’enfant à un moment précis. Il décrit l’enfant. « Obéissant » est donc un adjectif verbal. On peut aussi dire : « une histoire amusante ». Le mot « amusante » vient du verbe « amuser ». Il décrit l’histoire. C’est donc un adjectif verbal. L’adjectif verbal peut souvent être reconnu parce qu’il ressemble à la forme en « -ant » d’un verbe. Par exemple : « obéir » donne « obéissant », « amuser » donne « amusant », « fatiguer » donne « fatigant » et « intéresser » donne « intéressant ». Il est important de comprendre qu’un mot en « -ant » n’est pas toujours un adjectif verbal. Parfois, il fait partie du verbe et indique une action. Par exemple, dans « Le garçon joue en chantant », « chantant » indique une action que fait le garçon. Dans « un garçon chantant », le mot « chantant » peut décrire le garçon. Pour le niveau CP, on peut surtout retenir que l’adjectif verbal sert à décrire un nom et qu’il vient d’un verbe. L’adjectif verbal peut être placé avant ou après le nom. Par exemple : « un enfant amusant » : « amusant » décrit l’enfant. « une histoire amusante » : « amusante » décrit l’histoire. « un jeu intéressant » : « intéressant » décrit le jeu. « une activité intéressante » : « intéressante » décrit l’activité. Comme les autres adjectifs, l’adjectif verbal peut changer lorsqu’il accompagne un nom féminin ou plusieurs noms. Il doit s’accorder avec le nom. Par exemple, on dit « un garçon amusant » et « une fille amusante ». On ajoute généralement un « e » au féminin. On dit aussi « un jeu intéressant » et « une histoire intéressante ». Au pluriel, on peut ajouter un « s » : « un enfant amusant » devient « des enfants amusants ». « une histoire amusante » devient « des histoires amusantes ». L’adjectif verbal permet donc de donner une information sur un nom. Pour trouver un adjectif verbal, je peux chercher le nom dans la phrase et me demander : « Comment est cette personne ? », « Comment est cet animal ? » ou « Comment est cette chose ? » Par exemple : « Le spectacle est amusant. » Je cherche le mot qui décrit le spectacle. Le spectacle est « amusant ». « Amusant » est donc un adjectif verbal. « Cette histoire est passionnante. » L’histoire est « passionnante ». Le mot « passionnante » décrit l’histoire. C’est un adjectif verbal. « Le film est intéressant. » Le film est « intéressant ». Le mot « intéressant » donne une information sur le film. C’est un adjectif verbal. « La leçon est intéressante. » Le mot « intéressante » décrit la leçon. C’est un adjectif verbal. L’adjectif verbal est donc très proche de l’adjectif qualificatif, car il sert lui aussi à décrire un nom. Ce qui le rend particulier, c’est qu’il vient d’un verbe. Par exemple, le verbe « amuser » donne l’adjectif verbal « amusant ». Le verbe « fatiguer » donne « fatigant ». Le verbe « intéresser » donne « intéressant ». Le verbe « étonner » donne « étonnant ». Le verbe « inquiéter » donne « inquiétant ». Le verbe « passionner » donne « passionnant ». Le verbe « décourager » donne « décourageant ». Dans une phrase, il faut bien regarder le rôle du mot. Dans « Ce jeu est amusant », « amusant » décrit le jeu. C’est un adjectif verbal. Dans « L’enfant joue en amusant son petit frère », « amusant » participe à une action réalisée par l’enfant. Le mot ne fonctionne pas de la même manière. Pour le CP, l’essentiel est donc de reconnaître les adjectifs qui viennent de verbes et qui servent à décrire un nom. Il ne faut pas confondre l’adjectif verbal avec le verbe. Un verbe indique généralement une action ou ce qui se passe. Exemple : « Le garçon court. » « Court » est le verbe : il indique ce que fait le garçon. Un adjectif verbal décrit. Exemple : « Le garçon est courant... » Cette phrase n’est pas correcte dans ce sens. On ne doit donc pas chercher seulement un mot qui ressemble à un verbe. Il faut regarder comment il est utilisé dans la phrase. Voici quelques exemples simples à observer : « Un film amusant. » « Amusant » décrit le film. « Une histoire passionnante. » « Passionnante » décrit l’histoire. « Un bruit inquiétant. » « Inquiétant » décrit le bruit. « Une nouvelle étonnante. » « Étonnante » décrit la nouvelle. « Un exercice fatigant. » « Fatigant » décrit l’exercice. Dans tous ces exemples, les mots « amusant », « passionnante », « inquiétant », « étonnante » et « fatigant » donnent des informations sur un nom. Une autre chose importante est l’accord. L’adjectif verbal s’accorde avec le nom qu’il décrit. Si le nom est masculin singulier, on écrit par exemple : « un jeu amusant ». Si le nom est féminin singulier : « une histoire amusante ». Si le nom est masculin pluriel : « des jeux amusants ». Si le nom est féminin pluriel : « des histoires amusantes ». On peut donc retenir quatre formes : MASCULIN SINGULIER : un jeu amusant FÉMININ SINGULIER : une histoire amusante MASCULIN PLURIEL : des jeux amusants FÉMININ PLURIEL : des histoires amusantes Pour reconnaître un adjectif verbal, je peux utiliser une petite méthode. Je cherche d’abord le nom. Ensuite, je cherche le mot qui le décrit. Enfin, je regarde si ce mot vient d’un verbe. Par exemple : « Le petit garçon est très souriant. » Le nom est « garçon ». Le mot « souriant » décrit le garçon. Il vient du verbe « sourire ». « Souriant » est donc un adjectif verbal. « La petite fille est souriante. » Le nom est « fille ». Le mot « souriante » décrit la fille. Il vient du verbe « sourire ». C’est un adjectif verbal. L’adjectif verbal peut être utilisé pour décrire des personnes, des animaux, des objets, des lieux ou des situations. Par exemple : « un enfant souriant » « un chien obéissant » « une fleur odorante » « une histoire amusante » « un bruit effrayant » « une journée fatigante » L’adjectif verbal rend les phrases plus précises. Il permet de mieux décrire ce dont on parle. Il faut surtout retenir que l’adjectif verbal est un mot issu d’un verbe qui sert à décrire un nom. Il se comporte comme un adjectif et s’accorde avec le nom qu’il accompagne. Pour mémoriser, je peux retenir : VERBE → ADJECTIF VERBAL → IL DÉCRIT UN NOM Amuser → amusant → un jeu amusant. Intéresser → intéressant → un livre intéressant. Fatiguer → fatigant → un travail fatigant. Étonner → étonnant → une histoire étonnante. Inquiéter → inquiétant → un bruit inquiétant. L’adjectif verbal est donc un mot qui permet de dire comment est quelqu’un ou quelque chose. Il vient d’un verbe, mais dans la phrase, il sert à décrire un nom. À retenir : un adjectif verbal vient d’un verbe et sert à décrire un nom. Il peut être au masculin, au féminin, au singulier ou au pluriel. Il s’accorde avec le nom qu’il décrit. Pour le trouver, je cherche le nom, puis je me demande quel mot donne une information sur ce nom. itw7mrpwqjbqhhvjlxi3k3sfppmuuyc 0 87349 986351 2026-09-08T07:40:56Z Yayetta12 80754 Page créée avec « L’ADJECTIF VERBAL L’adjectif verbal est un mot qui vient d’un verbe, mais qui sert à décrire une personne, un animal, une chose ou une situation. Il fonctionne donc comme un adjectif : il donne une information sur un nom. Par exemple, dans « un enfant obéissant », le mot « obéissant » vient du verbe « obéir ». Mais dans cette phrase, il sert à décrire l’enfant. « Obéissant » est donc un adjectif verbal. On peut aussi dire : « une histo... » 986351 wikitext text/x-wiki L’ADJECTIF VERBAL L’adjectif verbal est un mot qui vient d’un verbe, mais qui sert à décrire une personne, un animal, une chose ou une situation. Il fonctionne donc comme un adjectif : il donne une information sur un nom. Par exemple, dans « un enfant obéissant », le mot « obéissant » vient du verbe « obéir ». Mais dans cette phrase, il sert à décrire l’enfant. « Obéissant » est donc un adjectif verbal. On peut aussi dire : « une histoire amusante ». Le mot « amusante » vient du verbe « amuser ». Il décrit l’histoire. C’est donc un adjectif verbal. L’adjectif verbal ressemble souvent à un mot qui se termine par « -ant ». Par exemple, « amuser » donne « amusant », « fatiguer » donne « fatigant » et « intéresser » donne « intéressant ». Cependant, un mot qui se termine par « -ant » n’est pas toujours un adjectif verbal. Pour savoir si c’est un adjectif verbal, il faut regarder son rôle dans la phrase. S’il sert à décrire un nom, c’est un adjectif verbal. Par exemple, dans « un jeu amusant », le mot « amusant » décrit le jeu. C’est donc un adjectif verbal. Dans « une histoire amusante », le mot « amusante » décrit l’histoire. C’est aussi un adjectif verbal. L’adjectif verbal peut être placé avant ou après le nom. On peut dire « un enfant souriant » ou « une jolie histoire amusante ». L’adjectif verbal donne une information sur le nom qu’il accompagne. Pour trouver un adjectif verbal dans une phrase, je peux d’abord chercher le nom. Ensuite, je cherche le mot qui donne une information sur ce nom. Enfin, je peux chercher le verbe dont ce mot vient. Par exemple, dans « Le spectacle est amusant », le nom est « spectacle ». Le mot « amusant » décrit le spectacle. Il vient du verbe « amuser ». « Amusant » est donc un adjectif verbal. Dans « Cette histoire est passionnante », le nom est « histoire ». Le mot « passionnante » décrit l’histoire. Il vient du verbe « passionner ». C’est donc un adjectif verbal. Dans « Le film est intéressant », le nom est « film ». Le mot « intéressant » décrit le film. Il vient du verbe « intéresser ». C’est un adjectif verbal. Dans « La leçon est intéressante », le nom est « leçon ». Le mot « intéressante » décrit la leçon. Il vient du verbe « intéresser ». C’est donc un adjectif verbal. L’adjectif verbal peut donner différentes informations. Il peut dire comment est une personne, un animal, un objet ou une situation. Par exemple, dans « un enfant souriant », le mot « souriant » décrit l’enfant. Dans « un chien obéissant », le mot « obéissant » décrit le chien. Dans « une histoire amusante », le mot « amusante » décrit l’histoire. Dans « un bruit inquiétant », le mot « inquiétant » décrit le bruit. L’adjectif verbal s’accorde avec le nom qu’il décrit. Cela signifie qu’il peut changer selon que le nom est masculin ou féminin, singulier ou pluriel. Par exemple, on dit « un garçon amusant » et « une fille amusante ». Au féminin, on ajoute ici un « e ». On dit « un jeu intéressant » et « une histoire intéressante ». Au pluriel, on ajoute généralement un « s ». On dit « un enfant amusant » et « des enfants amusants ». On dit aussi « une histoire amusante » et « des histoires amusantes ». Il faut donc toujours regarder le nom pour savoir comment écrire l’adjectif verbal. On peut retenir quatre exemples : « un jeu amusant » : masculin singulier ; « une histoire amusante » : féminin singulier ; « des jeux amusants » : masculin pluriel ; « des histoires amusantes » : féminin pluriel. L’adjectif verbal est proche de l’adjectif qualificatif parce qu’il sert lui aussi à décrire un nom. La différence importante est que l’adjectif verbal vient d’un verbe. Par exemple, le verbe « amuser » donne « amusant ». Le verbe « intéresser » donne « intéressant ». Le verbe « fatiguer » donne « fatigant ». Le verbe « étonner » donne « étonnant ». Le verbe « inquiéter » donne « inquiétant ». Le verbe « passionner » donne « passionnant ». Le verbe « sourire » donne « souriant ». Le verbe « obéir » donne « obéissant ». On peut donc faire une petite chaîne pour comprendre : « amuser » → « amusant » → « un jeu amusant » « intéresser » → « intéressant » → « un livre intéressant » « fatiguer » → « fatigant » → « un travail fatigant » « étonner » → « étonnant » → « une histoire étonnante » « inquiéter » → « inquiétant » → « un bruit inquiétant » Il faut aussi faire attention à ne pas confondre l’adjectif verbal avec un verbe. Le verbe sert à dire ce que fait quelqu’un ou ce qui se passe. L’adjectif verbal sert à décrire un nom. Par exemple, dans « Le garçon court », le mot « court » est un verbe. Il indique ce que fait le garçon. Dans « un garçon souriant », le mot « souriant » décrit le garçon. Il donne une information sur lui. C’est un adjectif verbal. Un autre exemple permet de bien comprendre : « Le chien obéit. » Dans cette phrase, « obéit » est le verbe. Il indique ce que fait le chien. Dans « un chien obéissant », « obéissant » décrit le chien. C’est un adjectif verbal. Il faut également faire attention aux mots qui se terminent par « -ant ». Leur terminaison ne suffit pas pour dire qu’ils sont des adjectifs verbaux. Il faut regarder leur rôle dans la phrase. Par exemple, dans « un enfant amusant », « amusant » décrit l’enfant : c’est un adjectif verbal. Dans « L’enfant joue en amusant son frère », « amusant » indique une action réalisée par l’enfant. Le mot n’a pas le même rôle. Pour le CP, il est surtout important de savoir reconnaître l’adjectif verbal lorsqu’il sert à décrire un nom. Pour trouver un adjectif verbal, je peux utiliser cette petite méthode : je cherche le nom, puis je cherche le mot qui le décrit, et enfin je vérifie que ce mot vient d’un verbe. Par exemple : « Le petit garçon est souriant. » Le nom est « garçon ». Le mot « souriant » décrit le garçon. Il vient du verbe « sourire ». « Souriant » est donc un adjectif verbal. Dans « La petite fille est souriante », le nom est « fille ». Le mot « souriante » décrit la fille. Il vient du verbe « sourire ». C’est un adjectif verbal. Dans « Le chien est obéissant », le nom est « chien ». Le mot « obéissant » décrit le chien. Il vient du verbe « obéir ». C’est un adjectif verbal. Dans « La journée est fatigante », le nom est « journée ». Le mot « fatigante » décrit la journée. Il vient du verbe « fatiguer ». C’est un adjectif verbal. Dans « Le bruit est inquiétant », le nom est « bruit ». Le mot « inquiétant » décrit le bruit. Il vient du verbe « inquiéter ». C’est un adjectif verbal. L’adjectif verbal permet donc de rendre une phrase plus précise. Au lieu de dire simplement « un jeu », on peut dire « un jeu amusant ». Au lieu de dire « une histoire », on peut dire « une histoire passionnante ». Au lieu de dire « un bruit », on peut dire « un bruit inquiétant ». L’adjectif verbal peut être utilisé pour décrire des personnes, des animaux, des objets ou des situations. Par exemple, on peut dire « un enfant souriant », « un chien obéissant », « une histoire amusante », « un bruit effrayant », « un exercice fatigant » ou « une journée passionnante ». Pour mémoriser, je peux retenir cette règle simple : un adjectif verbal vient d’un verbe et sert à décrire un nom. Il fonctionne comme un adjectif et s’accorde avec le nom qu’il décrit. Je peux retenir : VERBE → ADJECTIF VERBAL → NOM DÉCRIT Amuser → amusant → un jeu amusant. Intéresser → intéressant → un livre intéressant. Fatiguer → fatigant → un exercice fatigant. Étonner → étonnant → une nouvelle étonnante. Inquiéter → inquiétant → un bruit inquiétant. Sourire → souriant → un enfant souriant. Obéir → obéissant → un chien obéissant. À retenir : l’adjectif verbal est un mot qui vient d’un verbe et qui sert à décrire un nom. Il peut changer selon le genre et le nombre du nom. Pour le trouver, je cherche le nom, puis je me demande quel mot le décrit. Je peux ensuite chercher le verbe dont cet adjectif vient. k58gra1q3tnrh1hyl4agyyp8b2adf71 0 87350 986352 2026-09-08T07:43:38Z Yayetta12 80754 Page créée avec « LE DÉTERMINANT Le déterminant est un petit mot que l’on trouve généralement devant un nom. Il accompagne le nom et nous aide à savoir de qui ou de quoi on parle. Par exemple, dans « un chat », le mot « un » est devant le nom « chat ». « Un » est un déterminant. Dans « la maison », « la » est le déterminant et « maison » est le nom. Dans « des fleurs », « des » est le déterminant et « fleurs » est le nom. Le déterminant est donc... » 986352 wikitext text/x-wiki LE DÉTERMINANT Le déterminant est un petit mot que l’on trouve généralement devant un nom. Il accompagne le nom et nous aide à savoir de qui ou de quoi on parle. Par exemple, dans « un chat », le mot « un » est devant le nom « chat ». « Un » est un déterminant. Dans « la maison », « la » est le déterminant et « maison » est le nom. Dans « des fleurs », « des » est le déterminant et « fleurs » est le nom. Le déterminant est donc souvent placé juste avant le nom. On peut retenir : **déterminant + nom** Exemples : « un chien » « une voiture » « le garçon » « la fille » « des pommes » « les enfants » Il existe plusieurs sortes de déterminants. Les déterminants **un, une, des** servent à parler d’une personne, d’un animal ou d’une chose sans dire exactement lequel ou laquelle. Exemples : « un chat » « une fille » « des livres » Les déterminants **le, la, les** servent à parler de quelqu’un ou de quelque chose de précis. Exemples : « le chat » « la fille » « les livres » Il existe aussi les déterminants **mon, ma, mes**, **ton, ta, tes** et **son, sa, ses**. Ils indiquent à qui appartient quelque chose. Exemples : « mon cartable » « ma trousse » « mes crayons » « ton livre » « ta veste » « tes chaussures » « son vélo » « sa maison » « ses jouets » On utilise également **ce, cet, cette, ces** pour montrer ou désigner quelque chose. Exemples : « ce livre » « cet arbre » « cette fleur » « ces chaussures » Le déterminant change selon le nom. Par exemple, on dit : « un garçon » mais « une fille » « le chien » mais « la chienne » « mon livre » mais « ma trousse » Le déterminant change aussi lorsque le nom est au pluriel. Par exemple : « un chat » → « des chats » « le chat » → « les chats » « ma chaussure » → « mes chaussures » Pour trouver le déterminant, je peux chercher le petit mot qui se trouve devant le nom. Exemple : « Le petit chien joue. » Le nom est « chien ». Le petit mot placé devant « chien » est « le ». « Le » est donc le déterminant. Autre exemple : « Une grande maison est dans la rue. » Le nom est « maison ». Le mot placé devant « maison » est « une ». « Une » est donc le déterminant. Dans « Mes chaussures sont rouges », le nom est « chaussures ». Le mot « mes » accompagne le nom. « Mes » est donc le déterminant. Il ne faut pas confondre le déterminant et l’adjectif. Dans « un petit chien », « un » est le déterminant, « petit » est l’adjectif et « chien » est le nom. Le déterminant accompagne le nom. L’adjectif donne une information sur le nom. On peut donc retenir : **un petit chien** « un » → déterminant « petit » → adjectif « chien » → nom Le déterminant est très important dans une phrase, car il accompagne le nom et permet de construire correctement le groupe de mots. À retenir : **le déterminant est un petit mot placé devant un nom. Il accompagne le nom. Il peut être : un, une, des, le, la, les, mon, ma, mes, ton, ta, tes, son, sa, ses, ce, cet, cette, ces.** Pour trouver le déterminant, je cherche le nom et je regarde le petit mot qui l’accompagne. Exemples : « **un** chat » « **une** maison » « **le** garçon » « **la** fille » « **des** fleurs » « **les** enfants » « **mon** sac » « **cette** voiture » Le déterminant est donc un petit mot qui accompagne le nom et qui nous aide à savoir de qui ou de quoi on parle. omeqlxhuxyopnkioggm3w1l6zv68n9x 0 87351 986353 2026-09-08T07:44:54Z Yayetta12 80754 Page créée avec « L’ADJECTIF POSSESSIF L’adjectif possessif est un petit mot qui accompagne un nom. Il sert à dire à qui appartient une personne, un animal ou une chose. Par exemple, dans « mon livre », le mot « mon » indique que le livre est à moi. « Mon » est un adjectif possessif. Dans « ta trousse », le mot « ta » indique que la trousse est à toi. « Ta » est un adjectif possessif. Dans « son vélo », le mot « son » indique que le vélo appartient à... » 986353 wikitext text/x-wiki L’ADJECTIF POSSESSIF L’adjectif possessif est un petit mot qui accompagne un nom. Il sert à dire à qui appartient une personne, un animal ou une chose. Par exemple, dans « mon livre », le mot « mon » indique que le livre est à moi. « Mon » est un adjectif possessif. Dans « ta trousse », le mot « ta » indique que la trousse est à toi. « Ta » est un adjectif possessif. Dans « son vélo », le mot « son » indique que le vélo appartient à une autre personne. Les adjectifs possessifs les plus courants sont : **mon, ma, mes** → quand quelque chose est à moi. **ton, ta, tes** → quand quelque chose est à toi. **son, sa, ses** → quand quelque chose appartient à une autre personne. On peut les apprendre avec des exemples : **MON** livre **MA** trousse **MES** crayons **TON** livre **TA** trousse **TES** crayons **SON** livre **SA** trousse **SES** crayons L’adjectif possessif change selon le nom qui vient après lui. Quand le nom est masculin singulier, on utilise généralement **mon, ton ou son**. Exemples : « mon sac » « ton vélo » « son cartable » Quand le nom est féminin singulier, on utilise généralement **ma, ta ou sa**. Exemples : « ma trousse » « ta maison » « sa voiture » Quand le nom est au pluriel, on utilise **mes, tes ou ses**. Exemples : « mes livres » « tes chaussures » « ses jouets » Il faut donc regarder le nom pour choisir le bon adjectif possessif. Par exemple, « livre » est masculin singulier. On peut dire « mon livre », « ton livre » ou « son livre ». « Trousse » est féminin singulier. On dit « ma trousse », « ta trousse » ou « sa trousse ». « Chaussures » est au pluriel. On dit « mes chaussures », « tes chaussures » ou « ses chaussures ». L’adjectif possessif indique aussi la personne à qui appartient quelque chose. **Mon, ma, mes** → à moi. Exemple : « mon ballon » signifie que le ballon est à moi. **Ton, ta, tes** → à toi. Exemple : « ton ballon » signifie que le ballon est à toi. **Son, sa, ses** → à lui ou à elle. Exemple : « son ballon » signifie que le ballon est à lui ou à elle. On peut donc retenir : **MOI → mon, ma, mes** **TOI → ton, ta, tes** **LUI / ELLE → son, sa, ses** Pour trouver un adjectif possessif dans une phrase, je cherche le nom et je regarde le petit mot qui l’accompagne. Ensuite, je me demande : « À qui appartient ce nom ? » Par exemple : « J’ai pris mon cartable. » Le nom est « cartable ». Le mot « mon » accompagne le nom. Il indique que le cartable est à moi. « Mon » est donc un adjectif possessif. « Tu ranges ta chambre. » Le nom est « chambre ». Le mot « ta » indique que la chambre est à toi. « Ta » est donc un adjectif possessif. « Léa cherche ses chaussures. » Le nom est « chaussures ». Le mot « ses » indique que les chaussures appartiennent à Léa. « Ses » est donc un adjectif possessif. Il ne faut pas confondre l’adjectif possessif avec l’adjectif qualificatif. Dans « mon petit chien », « mon » est l’adjectif possessif, « petit » est l’adjectif qualificatif et « chien » est le nom. **mon** → indique à qui appartient le chien. **petit** → décrit le chien. **chien** → nom. L’adjectif possessif est donc un petit mot qui accompagne le nom et indique à qui il appartient. À retenir : **MON, MA, MES → à moi** **TON, TA, TES → à toi** **SON, SA, SES → à lui ou à elle** Exemples : « mon livre » « ma maison » « mes jouets » « ton sac » « ta veste » « tes chaussures » « son vélo » « sa poupée » « ses crayons » Pour bien choisir l’adjectif possessif, je regarde deux choses : la personne à qui appartient la chose et le nombre du nom. Si la chose est à moi, je choisis **mon, ma ou mes**. Si elle est à toi, je choisis **ton, ta ou tes**. Si elle est à lui ou à elle, je choisis **son, sa ou ses**. L’adjectif possessif est donc un petit mot placé devant un nom pour montrer à qui appartient ce nom. bzollh6260aw68703wnefg91cnib6d6 0 87352 986354 2026-09-08T07:47:49Z Yayetta12 80754 Page créée avec « LA FORMATION DU PARTICIPE PASSÉ Le participe passé est une forme particulière du verbe. On le trouve très souvent avec l’auxiliaire « avoir » ou « être » pour former un temps composé. Par exemple : « J’ai mangé. » « Elle est partie. » Dans « j’ai mangé », le mot « mangé » est le participe passé du verbe « manger ». Dans « elle est partie », le mot « partie » est le participe passé du verbe « partir ». Le participe pass... » 986354 wikitext text/x-wiki LA FORMATION DU PARTICIPE PASSÉ Le participe passé est une forme particulière du verbe. On le trouve très souvent avec l’auxiliaire « avoir » ou « être » pour former un temps composé. Par exemple : « J’ai mangé. » « Elle est partie. » Dans « j’ai mangé », le mot « mangé » est le participe passé du verbe « manger ». Dans « elle est partie », le mot « partie » est le participe passé du verbe « partir ». Le participe passé peut avoir plusieurs terminaisons. Pour le trouver plus facilement, on peut regarder le groupe du verbe. Les verbes du 1er groupe se terminent par « -er » à l’infinitif. Leur participe passé se termine généralement par « -é ». Par exemple : « manger » → « mangé » « jouer » → « joué » « chanter » → « chanté » « parler » → « parlé » « regarder » → « regardé » On peut retenir : **-ER → -É** Par exemple : « J’ai joué. » « Nous avons mangé. » « Elle a chanté. » Les verbes du 2e groupe se terminent généralement par « -ir » à l’infinitif et forment leur participe passé en « -i ». Par exemple : « finir » → « fini » « choisir » → « choisi » « grandir » → « grandi » « remplir » → « rempli » On peut retenir : **-IR → -I** pour beaucoup de verbes du 2e groupe. Par exemple : « J’ai fini mon travail. » « Il a choisi un livre. » « Elle a grandi. » Attention : tous les verbes en « -ir » ne suivent pas cette règle. Certains ont un participe passé différent. Par exemple : « partir » → « parti » « dormir » → « dormi » « venir » → « venu » Pour les autres verbes, le participe passé peut avoir des formes différentes. Il faut alors apprendre leur forme. Par exemple : « faire » → « fait » « prendre » → « pris » « mettre » → « mis » « écrire » → « écrit » « voir » → « vu » « lire » → « lu » « dire » → « dit » « ouvrir » → « ouvert » On peut donc retenir quelques participes passés très courants : faire → fait prendre → pris mettre → mis écrire → écrit voir → vu lire → lu dire → dit venir → venu partir → parti dormir → dormi Le participe passé est souvent utilisé avec « avoir ». Par exemple : « J’ai mangé. » « Tu as joué. » « Il a fini. » « Nous avons choisi. » « Elles ont écrit. » Il peut aussi être utilisé avec « être ». Par exemple : « Elle est partie. » « Il est venu. » « Nous sommes arrivés. » « Elles sont tombées. » Quand le participe passé est utilisé avec « être », il peut changer selon la personne ou les personnes dont on parle. Par exemple : « Il est arrivé. » « Elle est arrivée. » « Ils sont arrivés. » « Elles sont arrivées. » On ajoute souvent « e » au féminin et « s » au pluriel. Pour former le participe passé d’un verbe, je peux donc commencer par regarder son infinitif. Si le verbe se termine par « -er », son participe passé se termine généralement par « -é ». « jouer » → « joué » Si le verbe appartient au 2e groupe, son participe passé se termine généralement par « -i ». « finir » → « fini » Pour les autres verbes, il faut souvent apprendre la forme du participe passé. « faire » → « fait » « prendre » → « pris » « voir » → « vu » « écrire » → « écrit » Il faut aussi faire attention à ne pas confondre l’infinitif et le participe passé. Par exemple : « Je vais manger. » « manger » est l’infinitif. « J’ai mangé. » « mangé » est le participe passé. On peut utiliser une petite astuce avec les verbes en « -er ». Si on peut remplacer le mot par « prendre » ou « finir », on peut souvent savoir s’il faut écrire « -er » ou « -é ». Par exemple : « Je vais manger. » On peut dire « Je vais prendre. » Le verbe est donc à l’infinitif : « manger ». « J’ai mangé. » On peut dire « J’ai pris. » Le mot est donc un participe passé : « mangé ». Cette astuce permet surtout de ne pas confondre « -er » et « -é ». À retenir : **Les verbes en -ER → participe passé en -É** manger → mangé jouer → joué chanter → chanté **Beaucoup de verbes en -IR du 2e groupe → participe passé en -I** finir → fini choisir → choisi grandir → grandi **Certains verbes ont un participe passé particulier** faire → fait prendre → pris mettre → mis voir → vu lire → lu écrire → écrit Le participe passé est donc une forme du verbe que l’on utilise souvent avec « avoir » ou « être ». Pour bien le trouver, je regarde le verbe à l’infinitif et je connais sa forme au participe passé. Je peux retenir : **manger → mangé** **finir → fini** **partir → parti** **faire → fait** **prendre → pris** **voir → vu** Le plus important est de reconnaître le participe passé dans une phrase et de connaître les formes les plus courantes. pa43svjxw2tzo721b5qi8eqa8hpishp