Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 4 14250 986365 985426 2026-09-08T13:09:11Z G soleil 80957 /* Notre environnement */ nouvelle technologie 986365 wikitext text/x-wiki {{Nobots}} __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}} <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Débats d'admissibilité}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».</strong> <strong style="font-size:1.0em">Lancer un débat</strong> #Écrivez {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer le débat aux autres contributeurs (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure). #Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez. #Ajoutez la page concernée dans la section <code>Débats en cours</code> (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au « vote ». [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Attention</strong> * si la page est clairement inadmissible → écrivez {{m|Suppression immédiate}} en haut de la page concernée * si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]]</div> == Débats en cours == {{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}} {| class="wikitable sortable" ! Lien vers la page concernée (P) et celle du débat !! Année de création<br/><small>de la page mise en cause</small> !! Nombre d'avis donnés |- | {{P|Langage cinématographique}} || 2007 || {{Rouge|0 avis}} |- | {{P|Flash}} || 2007 || {{Vert|5 avis}} |- | {{P|Mouvement féministe}} || 2008 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Joomla}} || 2008 || {{Vert|5 avis}} |- | {{P|Collapsologie}} || 2016 || {{Orange|3 avis}} |- | {{P|Citoyenneté et empire à Rome (Ie-IIIe siècle)}} || 2018 || {{Rouge|2 avis}} |- | {{P|Apprentissage non supervisé}} || 2018 || {{Rouge|2 avis}} |- | {{P|Peuples amérindiens}} || 2019 || {{Orange|3 avis}} |- | {{P|Création des états modernes en Europe}} || 2019 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Mouvement ouvrier}} || 2020 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Apprentissage profond}} || 2024 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Apprentissage par renforcement}} || 2024 || {{Orange|3 avis}} |- | {{P|Algorithme génétique}} || 2024 || {{Vert|4 avis}} |} == Débats clos == {|class="wikitable" |- ! Pages supprimées !! Pages conservées !! Autres cas |- !colspan="4"| 2007 |- | * {{A|Argot (région parisienne)}} | * {{A|Matériel (réseau)}} | |- !colspan="3"| 2008 |- | * {{A|Bayt mal alqods acharif}} * {{A|Comité alqods}} * {{A|Catégorie:Grammaire lettonne}} * {{A|Catégorie:Conjugaison lettonne}} * {{A|Grammaire/Latin/Les prépositions latines}} * {{A|Introduction aux genres littéraires/Le genre narratif}} * {{A|Introduction à la musique/Introduction}} | * {{A|Candide}} | |- !colspan="3"| 2009 |- | * {{A|Diapause génétique}} | * {{A|Conseil de navigation}} | * {{A|Introduction à l'électrostatique/Définition}} : Recyclé comme fiche dans le cours [[Électrostatique]] * {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Amphibiens}} : {{Fusionner}} * {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Mollusques}} : {{Fusionner}} |- !colspan="3"| 2011 |- | * {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Exercices/Gradients et Laplaciens}} | * {{A|Guitare/Théorie d'accords}} * {{A|Handball/Règles}} * {{A|Modèle:Utilisateur Agrégé/Physique}} * {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}} | * {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Rappels de Mathématiques}} : Recyclée en annexe |- !colspan="3"| 2012 |- | * {{A|Photométrie/Éclairement lumineux}} | | * {{A|Recherche:ADN invisible}} redirigée vers {{A|Diapause génétique}} |- !colspan="3"| 2013 |- | * {{A|Les Vazimbas}} * {{A|Recherche:Nombres premiers et modèle des flèches de Jonathan}} | | |- !colspan="3"| 2014 |- | * {{A|Département:Sociologie économique}} et revoir tous les départements de [[Faculté:Socio-anthropologie]] (fusion/regroupement/suppression/...) * {{A|Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt}} * {{A|Transgression télévisuelle}} | | |- !colspan="3"| 2015 |- | * {{A|Corsü di xeç}} * {{A|Dénotation et connotation}} * {{A|Le barbier de Séville}} * {{A|Le parc de Tsimbazaza}} * {{A|Le besoin satisfait par le système}} * {{A|Liaisons élastiques. Ressorts}} * {{A|Musicologues}} * {{A|Recherche:Fausse schizophrénie}} * {{A|Recherche:L'effet balançoire}} * {{A|Recherche:La double stratégie}} * {{A|Recherche:Nouvelle menace HIV}} * {{A|Sentiment d appartenance}} * {{A|Taxe sur la valeur ajoutée}} * {{A|Portugais/Grammaire/Alphabet}} (Motif : Demande de l'auteur) | * {{A|Le Mariage de Figaro}} * {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}} (conservée en 2011) | * {{A|Méthode par questionnaire}} : Fusionnée avec la leçon [[Sondage]] |- !colspan="3"| 2016 |- | * {{A|Analyse de questions en forme de QCM sur le chocolat}} | * {{A|Recherche:Collaboration juive sous le nazisme}} | |- !colspan="3"| 2017 |- | * {{A|Être témoin de Jésus-Christ aujourd'hui}} * {{A|Créer une animation GIF}} * {{A|Anglais/Méthode/Unité 2}} * {{A|Anglais/Méthode/Unité 1}} * {{A|Département:Afrikaans}} * {{A|Département:Estonien}} * {{A|Département:Francique lorrain}} * {{A|Département:Indonésien}} * {{A|Département:Lojban}} * {{A|Département:Normand}} * {{A|Département:Norvégien}} * {{A|Département:Occitan}} * {{A|Département:Ukrainien}} * {{A|Département:Wallon}} * {{A|Méthode des différences finies}} * {{A|Variables aléatoires}} * {{A|Statistiques appliquées en Licence 3 en Economie et Gestion}} * {{A|Formules de Taylor}} | * {{A|Géographie de l'Allemagne}} : {{renommer}} [[Allemand/Civilisation]] * {{A|Wikiversité:Conventions de gestion}} '''en attendant la conclusion du [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] (page recréée le 5 octobre 2017)'''. | |- !colspan="3"| 2018 |- | * {{A|Recherche:Base logique des structures hypercomplexes}} * {{A|Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon}} | |- !colspan="3"| 2019 |- | * {{A|Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF}} * {{A|Recherche:L'explication de Ronel Dixit disant quel est le vrai sens de la vie}} * {{A|Calcul infinitésimal}} * {{A|L'habitat et les ouvrages de notre environnement/Pourquoi les bâtiments et les ouvrages d'arts construits par les hommes ne sont pas tous semblables?}} | * {{A|Logique (mathématiques)}} * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Suppression de travaux personnels|Suppression de travaux personnels]] | |- !colspan="3"| 2020 |- | * {{A|Français en première S}} * {{A|Français en première ES}} * {{A|Français en première L}} | |- !colspan="3"| 2021 |- | * {{A|Réforme de l'instruction et de l'éducation}} * {{A|Les Catacombes de Paris}} * {{A|Les cycles de développement}} * {{A|Les fécondations}} | * {{A|Espéranto/Vocabulaire/Érotisme}} |- !colspan="3"| 2022 |- | * {{A|Recherche:L'explication de Ronel Dixit disant ce qu'est l'authentique Justice}} * {{A|Brevet informatique et internet}} (DdA groupé avec 3 niveaux : école, collège, lycée) * {{A|Certificat informatique et internet}} | |- !colspan="3"| 2023 |- | * {{A|Recherche:Duplication}} * {{P|Recherche:The Western Canon: The Books and School of the Ages}} * {{P|Recherche:Volguine, Alexandre}} * {{A|Recherche:Exploration sur un livre qui se passe en 2067}} * {{A|Département:Monarchie}} * {{A|Département:Guerre}} * {{A|Département:Frontière}} * {{A|Recherche:Socle commun citoyen des gauches et des écologistes}} | * {{A|Témoignage au procès du siècle de Valérie Masson-Delmotte 9 octobre 2050}} * {{A|Recherche:Réflexion sur des réformes de notre société}} | |- !colspan="3"| 2024 |- | * {{A|Recherche:Effets secondaires de Sahaja Yoga}} | |- !colspan="3"| 2025 |- | * {{A|Homme, système complexe}} * {{A|Recherche:Relativité des choses}} * {{A|Système d'exploitation multiprogrammation}} * {{A|Australie et Nouvelle-Zélande}} * {{A|Rwanda}} * {{A|Grande Dépression}} * {{A|Guerre russo-japonaise}} * {{A|Famille "De Tremblecourt" (Famille "Chrétien" depuis 1735)}} * {{A|Maison "de Tremblecourt" (Maison "Chrétien" depuis 1735)}} * {{A|Programmation distribuée}} * {{A|Apprentissage supervisé}} | |- !colspan="3"| 2026 |- | * {{A|Économie numérique au Maroc}} * {{A|Digitale}} * {{A|Utilisateur:Fahimi mohame}} | |} [[Catégorie:Maintenance des pages]] [[Catégorie:Discussions communautaires]] == Notre environnement == notre environnement doit s'améliore [[Utilisateur:G soleil|G soleil]] ([[Discussion utilisateur:G soleil|discuter]]) 8 septembre 2026 à 13:09 (UTC) n0lx2v7s69kudmlge1ncrfainineu5r 986366 986365 2026-09-08T13:10:17Z G soleil 80957 /* Notre environnement */ Réponse 986366 wikitext text/x-wiki {{Nobots}} __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}} <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Débats d'admissibilité}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».</strong> <strong style="font-size:1.0em">Lancer un débat</strong> #Écrivez {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer le débat aux autres contributeurs (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure). #Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez. #Ajoutez la page concernée dans la section <code>Débats en cours</code> (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au « vote ». [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Attention</strong> * si la page est clairement inadmissible → écrivez {{m|Suppression immédiate}} en haut de la page concernée * si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]]</div> == Débats en cours == {{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}} {| class="wikitable sortable" ! Lien vers la page concernée (P) et celle du débat !! Année de création<br/><small>de la page mise en cause</small> !! Nombre d'avis donnés |- | {{P|Langage cinématographique}} || 2007 || {{Rouge|0 avis}} |- | {{P|Flash}} || 2007 || {{Vert|5 avis}} |- | {{P|Mouvement féministe}} || 2008 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Joomla}} || 2008 || {{Vert|5 avis}} |- | {{P|Collapsologie}} || 2016 || {{Orange|3 avis}} |- | {{P|Citoyenneté et empire à Rome (Ie-IIIe siècle)}} || 2018 || {{Rouge|2 avis}} |- | {{P|Apprentissage non supervisé}} || 2018 || {{Rouge|2 avis}} |- | {{P|Peuples amérindiens}} || 2019 || {{Orange|3 avis}} |- | {{P|Création des états modernes en Europe}} || 2019 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Mouvement ouvrier}} || 2020 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Apprentissage profond}} || 2024 || {{Vert|4 avis}} |- | {{P|Apprentissage par renforcement}} || 2024 || {{Orange|3 avis}} |- | {{P|Algorithme génétique}} || 2024 || {{Vert|4 avis}} |} == Débats clos == {|class="wikitable" |- ! Pages supprimées !! Pages conservées !! 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[[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Attention</strong> * si la page est clairement inadmissible → écrivez {{m|Suppression immédiate}} en haut de la page concernée * si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]]</div> == Débats en cours == {{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}} {| class="wikitable sortable" ! Lien vers la page concernée (P) et celle du débat !! Année de création<br/><small>de la page mise en cause</small> !! 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margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Débats d'admissibilité}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».</strong> <strong style="font-size:1.0em">Lancer un débat</strong> #Écrivez {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer le débat aux autres contributeurs (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure). #Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez. #Ajoutez la page concernée dans la section <code>Débats en cours</code> (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au « vote ». [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Attention</strong> * si la page est clairement inadmissible → écrivez {{m|Suppression immédiate}} en haut de la page concernée * si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]]</div> == Débats en cours == {{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}} {| class="wikitable sortable" ! Lien vers la page concernée (P) et celle du débat !! Année de création<br/><small>de la page mise en cause</small> !! 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subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\;m_{\text{tige}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\;\Delta_C\;</math> de celle-ci s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} ixkhkp8180zz8m41cepm8tvxy36r83h 986369 986368 2026-09-08T20:31:36Z Phl7605 31541 /* Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion */ 986369 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\;m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}}\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\;\Delta_G\; \parallel\;</math> à <math>\;\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de la masselotte considérée et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit <center>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\;\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\;C\;</math> à la distance <math>\;x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit <center>«<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>».</center> === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 76rmc8o43hd67rzr07udl6eekwmqj8y 986370 986369 2026-09-08T20:41:04Z Phl7605 31541 /* Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion */ 986370 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un pendule de torsion inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un pendule de torsion dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du pendule de torsion non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} eddp0ajnhsriv53jsyrn65c2lvtu2i2 986371 986370 2026-09-09T01:53:46Z Phl7605 31541 986371 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\theta_1\;</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\;\theta_0\;</math> était <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;</math> tel que <math>\;\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁,}} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\;\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\;\theta_1\;</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 6q46gt7o3kvi95ppw3vi3dusaccnot9 986372 986371 2026-09-09T02:08:14Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986372 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} er2ds3lnzftgsh5ku5o7nqs8t3oldic 986373 986372 2026-09-09T02:11:12Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986373 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 4uvcag3nhxkk6uyewus2xzrswgjeacw 986374 986373 2026-09-09T02:15:02Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986374 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\;t\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, * l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et * l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à l'instant <math>\;t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} sfpfnd0505ad44nu5eb9245u8k0ztvr 986375 986374 2026-09-09T03:00:07Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986375 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} a6atxvsz67b1lyj2bngo73q7qpxo8xa 986376 986375 2026-09-09T03:08:45Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986376 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\;C\;\theta_0\;</math> plus grande que le précédent car <math>\;C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\;</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\;C\;\theta_0\;</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\;C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\;</math> car <math>\;C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\;\theta_0\;</math> relativement à <math>\;2\;\theta_1</math> <math>\;\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\;\theta_0\;</math> par rapport à <math>\;\theta_1\;</math> et comme <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1\;</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\;\theta_0 <\;</math> à <math>\;\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} i8avl1rpk77twp1g63oee33bd66drda 986377 986376 2026-09-09T03:23:42Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986377 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} t1ilganupeaclybswcb88dcxh379roi 986383 986377 2026-09-09T10:03:01Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986383 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} 6dvabld6b138vzkkt38mnra0iwfccr6 986384 986383 2026-09-09T10:03:43Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986384 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" />}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} g1tgy0c13kmv9edpr6jxevef8uq29ud 4 86051 986380 986364 2026-09-09T06:45:22Z JackPotte 2411 /* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */ 986380 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-32 == <section begin="technews-2026-W32"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518] * L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-readinglists&filter=&action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia. * La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698] * Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W32"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 août 2026 à 19:46 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30872536 --> == Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div></div> '''Un numéro exceptionnel''' La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Dossier spécial Wikimania</span>''' '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les POV</span>'''<br>— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être<br>— Témoignages : regards sur la Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">L'Analyse</span>''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Comptes-rendus</span>'''<br>— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse<br>— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »<br>— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne<br>— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia<br>— Des événements techniques à Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Interviews</span>'''<br>— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !<br>— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! <span class="smiley">[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]</span> [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC) :Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-33 == <section begin="technews-2026-W33"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001] * <span class="mw-translate-fuzzy">Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>cldsort=timestamp</nowiki></code></bdi> dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.</span> [https://phabricator.wikimedia.org/T433768] * Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W33"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 10 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30901051 --> == Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence == Bonjour. Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement. C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité. En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche. Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche. L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&oldid=1 1^er décembre 2026]. * Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique. * Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour. * Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides. * Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet. Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet. J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ? Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 août 2026 à 15:50 (UTC) :Bonjour, :Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté. :Mon idée, par exemple: :* Études artistiques :** On remplace les quatres département en un seul. :** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki. :* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité, je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. :Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC) ::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul. ::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose. ::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs. ::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué. ::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs. ::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 10:54 (UTC) ::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté "Études artistiques" dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC) :::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table. :::* Ce qui reste à faire en priorité : :::** réparer les "MOOCs" ; :::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon "niveau d'avancement" pour les ébauches]] ; :::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]]. :::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] : :::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ; :::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement) :::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail. :::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC) ::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC) ::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC) :::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 14:05 (UTC) :::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia. :::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki. :::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC) ::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:37 (UTC) ::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple: ::La faculté "Études artistiques" possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille "Études artistiques", dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction. ::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC) : Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) :Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. <br>Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC). ::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:41 (UTC) :Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs : : * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile. : * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée. : * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire. : => Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?). Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... : Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) - une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' => Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:55 (UTC) :Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres "professeurs" les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe ("travaux de groupe" disait on autrefois) : Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une "superintelligence" va-t-elle manger "nos" wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:00 (UTC) P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus. : Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC) :Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 23:48 (UTC) ::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:02 (UTC) :::Je viens de lire ce fil ? :::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ? :::Ou, dois-je dire : "Hourrah ! bonne nouvelle ? :::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees. :::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC) ::::Bonsoir à tous, ::::Je précise ma participation au projet. ::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables. ::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression. ::::Le chantier devrait comprendre six axes : ::::1. Inventaire ::::2. Architecture du site, ::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales, ::::5. Accueil des publics ::::6. Modernisation technique. ::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : ::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; ::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]]. ::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté. ::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : ::::* Ateliers présentiels ::::* Supports publiés sur Wikiversitè ::::* Productions accompagnées ::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants. ::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique : ::::1. le problème traité ::::2. le public concerné ::::3. le responsable ::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. ::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC) :::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants : :::::1. Recherche et thèse, en prenant appui :::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia :::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè :::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon. :::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales & la traçabilité des productions. :::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ; :::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables. :::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable) :::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC) :::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^" Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC) ::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant "pignon sur rue" serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: "leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé"Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC) :::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC) ::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit. ::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon. ::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence. ::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ::::Je suis d'accord pour une visio au cours de la première semaine de novembre. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil== J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace Les coulisses de Wikibook]. La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide. Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité. Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC) :Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran. :Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia. :1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite. :2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite. :3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente. :Voilà tout. :Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres. :Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC) ::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC) :::Bonjour, à ma connaissance il n'y a pas de délai minium ni maximum. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 septembre 2026 à 06:45 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-34</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W34"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC. '''Updates for editors''' * [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>__EXPECTSHORTPAGE__</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203] * One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>w:bol:</nowiki></code></bdi>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921] * Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640] '''Updates for technical contributors''' * Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W34"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17 août 2026 à 21:03 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30922806 --> == Growth/Newsletters/36 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> [[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]] ''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.'' <span id="Recent_releases"></span> === Modifications récentes === <span id="Account_creation_experiments"></span> ==== Expériences de création de compte ==== Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs. * Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]]) * Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) *Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]] *Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option "afficher le mot de passe" et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %). <span id="Revise_Tone_structured_task"></span> ==== Tâche structurée de révision du ton ==== [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton. Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté. [[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité "Revise Tone" sur d'autres wikis. <span id="Automated_mentor_list_cleanup"></span> ==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ==== Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés). L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs. Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]]. <span id="Growth_features_for_Wikidata"></span> ==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ==== Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module "Impact", les actualités de la communauté et le panneau d'aide. <span id="Work_in_progress"></span> === Travail en cours === [[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]] <span id="Home"></span> ==== Accueil ==== Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants. Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun. <span id="Research"></span> === Recherche === L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté : * [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]] * [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] ''<small>'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].</small>'' </div> 18 août 2026 à 13:17 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&oldid=30870183 --> == Actualités techniques n° 2026-35 == <section begin="technews-2026-W35"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783] * Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448] '''Actualités pour la contribution technique''' * La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{#uic:}}</nowiki></code></bdi>. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{Userlinks}}</nowiki></code></bdi>]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466] * En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> (Spécial:Ma_page) avec l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> restent accessibles et utilisables sans <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>User:Myusername</nowiki></code></bdi>) peuvent toujours être utilisées avec <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386] * Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>librsvg</nowiki></code></bdi> a été mis à jour vers la version 2.60 et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ImageMagick</nowiki></code></bdi> vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W35"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 24 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30961208 --> == Actualités techniques n° 2026-36 == <section begin="technews-2026-W36"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines. '''Actualités pour la contribution''' * La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre. * À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés. * Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>onlyredirects:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>withredirects:</nowiki></code></bdi>, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>incategory:</nowiki></code></bdi>, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>intitle:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>insource:</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089] * Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>deepcat</nowiki></code></bdi> pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465] * L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]] '''En détails''' * Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W36"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 31 août 2026 à 20:53 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30990659 --> 3w07b0bycv986q1h9y6k36ptdu0mjw2 986381 986380 2026-09-09T06:45:38Z JackPotte 2411 /* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */ 986381 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-32 == <section begin="technews-2026-W32"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518] * L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-readinglists&filter=&action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia. * La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698] * Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W32"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 août 2026 à 19:46 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30872536 --> == Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div></div> '''Un numéro exceptionnel''' La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Dossier spécial Wikimania</span>''' '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les POV</span>'''<br>— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être<br>— Témoignages : regards sur la Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">L'Analyse</span>''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Comptes-rendus</span>'''<br>— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse<br>— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »<br>— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne<br>— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia<br>— Des événements techniques à Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Interviews</span>'''<br>— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !<br>— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! <span class="smiley">[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]</span> [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC) :Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-33 == <section begin="technews-2026-W33"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001] * <span class="mw-translate-fuzzy">Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>cldsort=timestamp</nowiki></code></bdi> dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.</span> [https://phabricator.wikimedia.org/T433768] * Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W33"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 10 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30901051 --> == Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence == Bonjour. Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement. C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité. En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche. Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche. L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&oldid=1 1^er décembre 2026]. * Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique. * Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour. * Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides. * Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet. Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet. J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ? Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 août 2026 à 15:50 (UTC) :Bonjour, :Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté. :Mon idée, par exemple: :* Études artistiques :** On remplace les quatres département en un seul. :** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki. :* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité, je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. :Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC) ::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul. ::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose. ::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs. ::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué. ::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs. ::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 10:54 (UTC) ::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté "Études artistiques" dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC) :::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table. :::* Ce qui reste à faire en priorité : :::** réparer les "MOOCs" ; :::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon "niveau d'avancement" pour les ébauches]] ; :::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]]. :::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] : :::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ; :::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement) :::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail. :::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC) ::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC) ::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC) :::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 14:05 (UTC) :::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia. :::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki. :::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC) ::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:37 (UTC) ::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple: ::La faculté "Études artistiques" possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille "Études artistiques", dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction. ::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC) : Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) :Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. <br>Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC). ::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:41 (UTC) :Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs : : * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile. : * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée. : * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire. : => Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?). Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... : Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) - une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' => Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:55 (UTC) :Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres "professeurs" les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe ("travaux de groupe" disait on autrefois) : Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une "superintelligence" va-t-elle manger "nos" wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:00 (UTC) P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus. : Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC) :Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 23:48 (UTC) ::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:02 (UTC) :::Je viens de lire ce fil ? :::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ? :::Ou, dois-je dire : "Hourrah ! bonne nouvelle ? :::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees. :::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC) ::::Bonsoir à tous, ::::Je précise ma participation au projet. ::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables. ::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression. ::::Le chantier devrait comprendre six axes : ::::1. Inventaire ::::2. Architecture du site, ::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales, ::::5. Accueil des publics ::::6. Modernisation technique. ::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : ::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; ::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]]. ::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté. ::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : ::::* Ateliers présentiels ::::* Supports publiés sur Wikiversitè ::::* Productions accompagnées ::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants. ::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique : ::::1. le problème traité ::::2. le public concerné ::::3. le responsable ::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. ::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC) :::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants : :::::1. Recherche et thèse, en prenant appui :::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia :::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè :::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon. :::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales & la traçabilité des productions. :::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ; :::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables. :::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable) :::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC) :::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^" Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC) ::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant "pignon sur rue" serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: "leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé"Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC) :::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC) ::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit. ::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon. ::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence. ::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ::::Je suis d'accord pour une visio au cours de la première semaine de novembre. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 11:20 (UTC) ==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil== J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace Les coulisses de Wikibook]. La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide. Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité. Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC) :Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran. :Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia. :1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite. :2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite. :3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente. :Voilà tout. :Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres. :Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC) ::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC) :::Bonjour, à ma connaissance il n'y a pas de délai minimum ni maximum. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 septembre 2026 à 06:45 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-34</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W34"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC. '''Updates for editors''' * [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>__EXPECTSHORTPAGE__</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203] * One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>w:bol:</nowiki></code></bdi>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921] * Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640] '''Updates for technical contributors''' * Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W34"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17 août 2026 à 21:03 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30922806 --> == Growth/Newsletters/36 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> [[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]] ''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.'' <span id="Recent_releases"></span> === Modifications récentes === <span id="Account_creation_experiments"></span> ==== Expériences de création de compte ==== Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs. * Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]]) * Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) *Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]] *Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option "afficher le mot de passe" et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %). <span id="Revise_Tone_structured_task"></span> ==== Tâche structurée de révision du ton ==== [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton. Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté. [[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité "Revise Tone" sur d'autres wikis. <span id="Automated_mentor_list_cleanup"></span> ==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ==== Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés). L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs. Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]]. <span id="Growth_features_for_Wikidata"></span> ==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ==== Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module "Impact", les actualités de la communauté et le panneau d'aide. <span id="Work_in_progress"></span> === Travail en cours === [[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]] <span id="Home"></span> ==== Accueil ==== Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants. Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun. <span id="Research"></span> === Recherche === L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté : * [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]] * [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] ''<small>'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].</small>'' </div> 18 août 2026 à 13:17 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&oldid=30870183 --> == Actualités techniques n° 2026-35 == <section begin="technews-2026-W35"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783] * Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448] '''Actualités pour la contribution technique''' * La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{#uic:}}</nowiki></code></bdi>. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{Userlinks}}</nowiki></code></bdi>]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466] * En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> (Spécial:Ma_page) avec l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> restent accessibles et utilisables sans <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>User:Myusername</nowiki></code></bdi>) peuvent toujours être utilisées avec <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386] * Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>librsvg</nowiki></code></bdi> a été mis à jour vers la version 2.60 et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ImageMagick</nowiki></code></bdi> vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W35"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 24 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30961208 --> == Actualités techniques n° 2026-36 == <section begin="technews-2026-W36"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines. '''Actualités pour la contribution''' * La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre. * À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés. * Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>onlyredirects:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>withredirects:</nowiki></code></bdi>, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>incategory:</nowiki></code></bdi>, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>intitle:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>insource:</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089] * Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>deepcat</nowiki></code></bdi> pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465] * L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]] '''En détails''' * Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W36"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 31 août 2026 à 20:53 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30990659 --> 7tl1ee7fdtx5f5afq05lvga9j3q6o1n 104 87342 986378 986318 2026-09-09T06:41:58Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[PLUME]] vers [[Recherche:PLUME]] sans laisser de redirection 986318 wikitext text/x-wiki = PLUME (Petit Lanceur Universitaire Multi Etablissement) = [[Fichier:Décollage_PLUME_Solide.jpg|vignette|Décollage PLUME Solide]] == Présentation du projet == === Origine du projet === Le projet '''PLUME''' (Petit Lanceur Universitaire Multi-Établissements) a été initié en 2021/2022 par le '''''NAASC''''' (Nouvelle-Aquitaine Academic Space Center). Son objectif est de promouvoir le secteur spatial et de susciter des vocations à travers une fusée expérimentale inter-établissements en Nouvelle-Aquitaine. Les tâches ont ainsi été réparties entre différentes écoles, notamment l'<nowiki/>'''ESTIA''', les '''Arts et Métiers de Bordeaux''' et l''''ISAE-ENSMA'''. Après deux premières années délicates, soldées par des vols non nominaux au C'Space, le NAASC a priorisé le développement de son CubeSat, le NanoNAASC. L'ISAE-ENSMA, alors chargée de la structure et de la propulsion liquide, a choisi de reprendre le projet en main afin d'aller jusqu'au bout du développement de son moteur. Le NAASC, toujours présent pour encourager l'innovation spatiale, continue de soutenir l'initiative, mais l'ISAE-ENSMA est restée seule sur le projet pendant un an afin d'avancer sur la conception et la qualification de son moteur liquide. Ce moteur est dit liquide car il fonctionne grâce à l'éjection à très haute vitesse des gaz brûlés issus de la combustion de deux liquides. Afin de simplifier l'architecture du moteur, le choix s'est porté sur l'utilisation d'ergols dits hypergoliques, c'est-à-dire que la combustion s'initie spontanément sans énergie d'activation, et donc sans allumeur. Ce projet de moteur liquide 100% étudiant est très ambitieux puisqu'il s'agit du tout premier moteur liquide étudiant français opérationnel. Jamais auparavant des étudiants français n'avaient réussi le développement et la qualification d'un tel moteur. En septembre 2025, le moteur a fait ses premières preuves lors d'un tir statique sur banc d'essai à l'ISAE-ENSMA. '''M. Bellenoue''', directeur de thèse de '''Célia Soudarin''' en charge de l’injecteur du propergol hypergolique de la fusée, est alors allé à la rencontre des élèves de l'ESP (ENSMA SPACE PROJECT) afin de relancer le projet et de concevoir une fusée autour de ce moteur. Très rapidement, le '''CNES''', chargé de qualifier la fusée et le moteur pour le vol, a demandé la réalisation d'un démonstrateur de la structure et de l’électronique. Celui-ci devait être testé avec un moteur à poudre (dit « solide ») et lancé au C'Space. Le projet PLUME Solide a donc été entrepris pour permettre la démonstration de la faisabilité de PLUME Liquide. Cette faisabilité représentait un véritable défi : l'équipe s'est en effet rendu compte que le changement d'ordre de grandeur intervenait aux endroits les plus contraignants. À titre de comparaison, le Pro54 (un moteur à poudre très communément utilisé dans le modélisme spatial) pèse environ 1,6 kg plein, mesure près de 50 cm et délivre une poussée d'environ 900 N. De son côté, le moteur bi-liquide affiche une poussée proche de 1100 N, mais pour une masse d'au moins 10 kg et une longueur de 1,55 m. De plus, certains choix structurels faits sur le moteur imposent l'utilisation de tiges filetées pour la structure de la fusée ; or, ces tiges ne reprennent pas les efforts de flexion et ne sont donc pas adaptées à l'ensemble de la structure. Après plusieurs semaines d'études, le projet a été pleinement repris par les étudiants de l'ISAE-ENSMA ('''ESP''' et Bureaux d'études) afin de construire une fusée adaptée à ce moteur bi-liquide. Quelques mois plus tard, la décision a été prise de confier la reprise des efforts de traction et de compression aux tiges filetées, tout en déléguant la flexion et la torsion à une peau en composite époxy-fibre de carbone. Le projet étant toujours soutenu par le NAASC, l'ESTIA s'est denouveau engagée dans le projet afin de fournir la peau composite et les trappes en fibre de carbone. L'expertise de cette école et de ses étudiants dans le domaine des composites constitue un réel atout. PLUME est alors redevenu un projet multi-établissements. Après deux longues années de travail pour concevoir une électronique, une structure et un système de récupération capables d'accueillir aussi bien un moteur Pro54 (1,6 kg, 50 cm) que le moteur bi-liquide (10 kg, 1,55 m), PLUME Solide a été qualifié au C'Space 2026. === Eté 2026 === PLUME Solide étant un démonstrateur, un maximum d'aspects de la version bi-liquide devaient être simulés et testés. Pour la structure, des tiges filetées M8 ont été retenues afin d'assembler le moteur de la manière la plus simple, rapide, précise et économique possible, la peau composite assurant la tenue en flexion et en torsion. Pour la propulsion, trois bagues en aluminium sont présentes dans PLUME Solide pour accueillir le Pro54 et tenir les ailerons. De plus, afin de simuler la masse, la position du centre de gravité et les efforts structurels, PLUME Solide a été lesté de 8 kg à des endroits stratégiques. L'emplacement du moteur liquide a également été réservé : la version solide pouvait ainsi accueillir et être propulsée à 100 % par l'un ou l'autre des moteurs. Concernant la récupération, le parachute situé juste au-dessus du moteur liquide possède des caractéristiques strictement identiques pour les deux versions. Enfin, l'électronique a été pensée pour s'adapter indifféremment aux deux modes de propulsion. Tous les capteurs sont présents sur la version solide, l'ordinateur de bord est identique, tout comme le code et la gestion des tâches. La seule différence réside dans la télémétrie. Les moteurs solides du CNES étant mis à feu par ondes radio, toute liaison radio montante est interdite une fois le moteur installé. Or, ces liaisons montantes seront indispensables sur la version liquide pour commander l'ouverture des électrovannes depuis le segment sol. La procédure de lancement a donc été revue et simplifiée pour la version solide afin d'être en pleine conformité avec le cahier des charges du C'Space. Grâce à l'ensemble de ces dispositions, PLUME Solide a réalisé un vol nominal lors du C'Space 2026. Cela a permis au CNES de valider la structure, le matériel (hardware), le logiciel (software), la télémétrie, la retransmission vidéo en direct, ainsi que la procédure de récupération et de sécurité (hors bloc moteur). Vous pouvez retrouver ici en intégralité le rapport de PLUME Solide. === 2026-2027 === Ce succès ouvre la voie à l'utilisation du moteur bi-liquide hypergolique développé par les étudiants de l'ISAE-ENSMA, de l'ESP et les doctorants travaillant sur l'injection des liquides hypergoliques. Néanmoins, du à des contraintes budgétaires, le NAASC s'est retiré du projet et alors l'ESP, aidé des bureaux d'études de l'ISAE-ENSMA, de l'ESTIA et du CNES, a repris la pleine direction du projet en septembre 2026. La fusée étant désormais validée à la suite de ce vol de démonstration, l'étape suivante consiste à qualifier le moteur via la rédaction du dossier de sécurité, la validation des procédures de mise en œuvre et la réalisation d'un tir statique de sa version finale. Il faudra ensuite assembler une seconde fusée en optimisant les détails relevés sur la version solide, avant de procéder à un ultime tir statique de l'ensemble fusée-moteur. À l'issue de ces étapes, l'ESP a obtenu le feu vert du CNES pour effectuer le lancement sous leur direction en novembre 2027. Ce projet passionnant ne s'arrêtera pas là. Malgré ses contraintes de masse et de volume, cette technologie offre des avantages majeurs : contrairement à un bloc solide, ce moteur peut être réutilisé et rallumé plusieurs fois au cours d'un même vol. De plus, la mise en place d'un contrôle vectoriel de poussée (TVC) devient envisageable. De surcroît, en augmentant le volume des réservoirs, la fusée pourra pousser plus longtemps et atteindre des altitudes nettement plus élevées pour y larguer des expériences étudiantes. Enfin, cette technologie peut être envisagée comme allumeur d'un prochain moteur à ergols non hypergoliques plus efficients. == Présentation de PLUME Solide == Le démonstrateur PLUME Solide cherche donc à intégrer à une fusée propulsée par un moteur solide, tous les sous-systèmes requis pour être propulsé par le moteur bi-liquide développé en interne. La fusée pèse donc 20 kg pleine pour 2,28 m de haut et 130 mm de diamètre. Le Pro54 pousse en moyenne 700 N sur presque 4 secondes. Elle est dotée de 3 ailerons pour sa stabilité. Son parachute de 2,40 m de diamètre lui permet d'avoir une vitesse verticale de descente de 7 à 8 m/s. Sa peau en composite époxy-fibre de carbone en une unique pièce pesant moins de 2,5 kg lui permet de tenir en flexion et en torsion. Les tiges filetées, très pratiques pour l'assemblage du moteur liquide, reprennent la compression et la traction. Concernant l'électronique, la fusée a un total de 7 cœurs de calcul afin de gérer : la récupération via le parachute, l'avionique et la trajectoire à l'aide de 11 capteurs, la sécurité du moteur avec le remplissage, l'allumage et la gestion des cas dégradés, les 10 capteurs sur le moteur bi-liquide, le réseau fluidique et enfin la liaison avec le segment sol afin de lui transmettre toutes les données et de recevoir ses ordres. Une caméra embarquée avec retransmission en direct a également été ajoutée. Pour avoir quelques chiffres en tête, toutes les données des capteurs sont enregistrées environ 70 fois par seconde en dur dans la fusée et sont envoyés au segment sol environ 15 à 17 fois par seconde. Cette liaison radio permet un stockage de secours mais surtout un accès à tous les états de la fusée afin de gérer au mieux la sécurité des personnes durant les opérations de lancement. Cela représente environ 5 millions de données à traiter une fois la fusée récupérée. Grâce à cette structure lourde, grande et en tige filetée mais également grâce à cette électronique poussée et modulaire afin d'assurer une sécurité maximale même pendant des cas dégradés, PLUME Solide est aussi bien capable de voler avec le Pro54 que le moteur bi-liquide. == Médias externes et liens == L'ESP entretien régulièrement ses pages YouTube, Instagram et LinkedIn et a ainsi posté régulièrement des photos et vidéos sur le projet PLUME. Vous avez ici leurs liens : Instagram ESP, LinkedIn ESP, YouTube ESP. Le site internet actuel de l'ESP se veut moins régulièrement être mis à jour (en 2026) : site ESP == Personnes majeures == L'enseignant chercheur de l'ISAE-ENSMA qui a supervisé le projet sur sa globalité est Marc BELLENOUE. Il est également le directeur de thèse de Célia SOUDARIN et de ''Caroline CHABAUD'' qui ont toutes les deux travaillées sur l'injecteur des ergols hypergoliques. Les élèves porteurs de projets ont été : '''Maxime CHAUDRON''' (2025-2026), '''Ewan KERSIVIEN''' (2026-2027) (LinkedIn) Nous retrouvons également '''Paul LECOMTE''' (LinkedIn) qui a été de 2025 à 2027 chef électronique embarquée avionique et gestion du moteur liquide, chef du segment segment sol, chef du séquenceur, chef du parachute et de la récupération, chef de la CAO et chef live et communication, ainsi qu''''Olivier ANTONIO''' (LinkedIn) qui a été en 2025/2026 chef de la structure et chef de la propulsion. __INDEX__ __AUCUNLIENNOUVELLESECTION__ tfbbsxnhprxatkurdbuhgwjgxrwhi2d 986382 986378 2026-09-09T08:21:59Z Geoleplubo 7999 wikification {{Travail de recherche | idfaculté = physique | niveau = 16 }} 986382 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = physique | niveau = 16 }} = PLUME (Petit Lanceur Universitaire Multi Etablissement) = [[Fichier:Décollage_PLUME_Solide.jpg|vignette|Décollage PLUME Solide]] == Présentation du projet == === Origine du projet === Le projet '''PLUME''' (Petit Lanceur Universitaire Multi-Établissements) a été initié en 2021/2022 par le '''''NAASC''''' (Nouvelle-Aquitaine Academic Space Center). Son objectif est de promouvoir le secteur spatial et de susciter des vocations à travers une fusée expérimentale inter-établissements en Nouvelle-Aquitaine. Les tâches ont ainsi été réparties entre différentes écoles, notamment l'<nowiki/>'''ESTIA''', les '''Arts et Métiers de Bordeaux''' et l''''ISAE-ENSMA'''. Après deux premières années délicates, soldées par des vols non nominaux au C'Space, le NAASC a priorisé le développement de son CubeSat, le NanoNAASC. L'ISAE-ENSMA, alors chargée de la structure et de la propulsion liquide, a choisi de reprendre le projet en main afin d'aller jusqu'au bout du développement de son moteur. Le NAASC, toujours présent pour encourager l'innovation spatiale, continue de soutenir l'initiative, mais l'ISAE-ENSMA est restée seule sur le projet pendant un an afin d'avancer sur la conception et la qualification de son moteur liquide. Ce moteur est dit liquide car il fonctionne grâce à l'éjection à très haute vitesse des gaz brûlés issus de la combustion de deux liquides. Afin de simplifier l'architecture du moteur, le choix s'est porté sur l'utilisation d'ergols dits hypergoliques, c'est-à-dire que la combustion s'initie spontanément sans énergie d'activation, et donc sans allumeur. Ce projet de moteur liquide 100% étudiant est très ambitieux puisqu'il s'agit du tout premier moteur liquide étudiant français opérationnel. Jamais auparavant des étudiants français n'avaient réussi le développement et la qualification d'un tel moteur. En septembre 2025, le moteur a fait ses premières preuves lors d'un tir statique sur banc d'essai à l'ISAE-ENSMA. '''M. Bellenoue''', directeur de thèse de '''Célia Soudarin''' en charge de l’injecteur du propergol hypergolique de la fusée, est alors allé à la rencontre des élèves de l'ESP (ENSMA SPACE PROJECT) afin de relancer le projet et de concevoir une fusée autour de ce moteur. Très rapidement, le '''CNES''', chargé de qualifier la fusée et le moteur pour le vol, a demandé la réalisation d'un démonstrateur de la structure et de l’électronique. Celui-ci devait être testé avec un moteur à poudre (dit « solide ») et lancé au C'Space. Le projet PLUME Solide a donc été entrepris pour permettre la démonstration de la faisabilité de PLUME Liquide. Cette faisabilité représentait un véritable défi : l'équipe s'est en effet rendu compte que le changement d'ordre de grandeur intervenait aux endroits les plus contraignants. À titre de comparaison, le Pro54 (un moteur à poudre très communément utilisé dans le modélisme spatial) pèse environ 1,6 kg plein, mesure près de 50 cm et délivre une poussée d'environ 900 N. De son côté, le moteur bi-liquide affiche une poussée proche de 1100 N, mais pour une masse d'au moins 10 kg et une longueur de 1,55 m. De plus, certains choix structurels faits sur le moteur imposent l'utilisation de tiges filetées pour la structure de la fusée ; or, ces tiges ne reprennent pas les efforts de flexion et ne sont donc pas adaptées à l'ensemble de la structure. Après plusieurs semaines d'études, le projet a été pleinement repris par les étudiants de l'ISAE-ENSMA ('''ESP''' et Bureaux d'études) afin de construire une fusée adaptée à ce moteur bi-liquide. Quelques mois plus tard, la décision a été prise de confier la reprise des efforts de traction et de compression aux tiges filetées, tout en déléguant la flexion et la torsion à une peau en composite époxy-fibre de carbone. Le projet étant toujours soutenu par le NAASC, l'ESTIA s'est denouveau engagée dans le projet afin de fournir la peau composite et les trappes en fibre de carbone. L'expertise de cette école et de ses étudiants dans le domaine des composites constitue un réel atout. PLUME est alors redevenu un projet multi-établissements. Après deux longues années de travail pour concevoir une électronique, une structure et un système de récupération capables d'accueillir aussi bien un moteur Pro54 (1,6 kg, 50 cm) que le moteur bi-liquide (10 kg, 1,55 m), PLUME Solide a été qualifié au C'Space 2026. === Eté 2026 === PLUME Solide étant un démonstrateur, un maximum d'aspects de la version bi-liquide devaient être simulés et testés. Pour la structure, des tiges filetées M8 ont été retenues afin d'assembler le moteur de la manière la plus simple, rapide, précise et économique possible, la peau composite assurant la tenue en flexion et en torsion. Pour la propulsion, trois bagues en aluminium sont présentes dans PLUME Solide pour accueillir le Pro54 et tenir les ailerons. De plus, afin de simuler la masse, la position du centre de gravité et les efforts structurels, PLUME Solide a été lesté de 8 kg à des endroits stratégiques. L'emplacement du moteur liquide a également été réservé : la version solide pouvait ainsi accueillir et être propulsée à 100 % par l'un ou l'autre des moteurs. Concernant la récupération, le parachute situé juste au-dessus du moteur liquide possède des caractéristiques strictement identiques pour les deux versions. Enfin, l'électronique a été pensée pour s'adapter indifféremment aux deux modes de propulsion. Tous les capteurs sont présents sur la version solide, l'ordinateur de bord est identique, tout comme le code et la gestion des tâches. La seule différence réside dans la télémétrie. Les moteurs solides du CNES étant mis à feu par ondes radio, toute liaison radio montante est interdite une fois le moteur installé. Or, ces liaisons montantes seront indispensables sur la version liquide pour commander l'ouverture des électrovannes depuis le segment sol. La procédure de lancement a donc été revue et simplifiée pour la version solide afin d'être en pleine conformité avec le cahier des charges du C'Space. Grâce à l'ensemble de ces dispositions, PLUME Solide a réalisé un vol nominal lors du C'Space 2026. Cela a permis au CNES de valider la structure, le matériel (hardware), le logiciel (software), la télémétrie, la retransmission vidéo en direct, ainsi que la procédure de récupération et de sécurité (hors bloc moteur). Vous pouvez retrouver ici en intégralité le rapport de PLUME Solide. === 2026-2027 === Ce succès ouvre la voie à l'utilisation du moteur bi-liquide hypergolique développé par les étudiants de l'ISAE-ENSMA, de l'ESP et les doctorants travaillant sur l'injection des liquides hypergoliques. Néanmoins, du à des contraintes budgétaires, le NAASC s'est retiré du projet et alors l'ESP, aidé des bureaux d'études de l'ISAE-ENSMA, de l'ESTIA et du CNES, a repris la pleine direction du projet en septembre 2026. La fusée étant désormais validée à la suite de ce vol de démonstration, l'étape suivante consiste à qualifier le moteur via la rédaction du dossier de sécurité, la validation des procédures de mise en œuvre et la réalisation d'un tir statique de sa version finale. Il faudra ensuite assembler une seconde fusée en optimisant les détails relevés sur la version solide, avant de procéder à un ultime tir statique de l'ensemble fusée-moteur. À l'issue de ces étapes, l'ESP a obtenu le feu vert du CNES pour effectuer le lancement sous leur direction en novembre 2027. Ce projet passionnant ne s'arrêtera pas là. Malgré ses contraintes de masse et de volume, cette technologie offre des avantages majeurs : contrairement à un bloc solide, ce moteur peut être réutilisé et rallumé plusieurs fois au cours d'un même vol. De plus, la mise en place d'un contrôle vectoriel de poussée (TVC) devient envisageable. De surcroît, en augmentant le volume des réservoirs, la fusée pourra pousser plus longtemps et atteindre des altitudes nettement plus élevées pour y larguer des expériences étudiantes. Enfin, cette technologie peut être envisagée comme allumeur d'un prochain moteur à ergols non hypergoliques plus efficients. == Présentation de PLUME Solide == Le démonstrateur PLUME Solide cherche donc à intégrer à une fusée propulsée par un moteur solide, tous les sous-systèmes requis pour être propulsé par le moteur bi-liquide développé en interne. La fusée pèse donc 20 kg pleine pour 2,28 m de haut et 130 mm de diamètre. Le Pro54 pousse en moyenne 700 N sur presque 4 secondes. Elle est dotée de 3 ailerons pour sa stabilité. Son parachute de 2,40 m de diamètre lui permet d'avoir une vitesse verticale de descente de 7 à 8 m/s. Sa peau en composite époxy-fibre de carbone en une unique pièce pesant moins de 2,5 kg lui permet de tenir en flexion et en torsion. Les tiges filetées, très pratiques pour l'assemblage du moteur liquide, reprennent la compression et la traction. Concernant l'électronique, la fusée a un total de 7 cœurs de calcul afin de gérer : la récupération via le parachute, l'avionique et la trajectoire à l'aide de 11 capteurs, la sécurité du moteur avec le remplissage, l'allumage et la gestion des cas dégradés, les 10 capteurs sur le moteur bi-liquide, le réseau fluidique et enfin la liaison avec le segment sol afin de lui transmettre toutes les données et de recevoir ses ordres. Une caméra embarquée avec retransmission en direct a également été ajoutée. Pour avoir quelques chiffres en tête, toutes les données des capteurs sont enregistrées environ 70 fois par seconde en dur dans la fusée et sont envoyés au segment sol environ 15 à 17 fois par seconde. Cette liaison radio permet un stockage de secours mais surtout un accès à tous les états de la fusée afin de gérer au mieux la sécurité des personnes durant les opérations de lancement. Cela représente environ 5 millions de données à traiter une fois la fusée récupérée. Grâce à cette structure lourde, grande et en tige filetée mais également grâce à cette électronique poussée et modulaire afin d'assurer une sécurité maximale même pendant des cas dégradés, PLUME Solide est aussi bien capable de voler avec le Pro54 que le moteur bi-liquide. == Médias externes et liens == L'ESP entretien régulièrement ses pages YouTube, Instagram et LinkedIn et a ainsi posté régulièrement des photos et vidéos sur le projet PLUME. Vous avez ici leurs liens : Instagram ESP, LinkedIn ESP, YouTube ESP. Le site internet actuel de l'ESP se veut moins régulièrement être mis à jour (en 2026) : site ESP == Personnes majeures == L'enseignant chercheur de l'ISAE-ENSMA qui a supervisé le projet sur sa globalité est Marc BELLENOUE. Il est également le directeur de thèse de Célia SOUDARIN et de ''Caroline CHABAUD'' qui ont toutes les deux travaillées sur l'injecteur des ergols hypergoliques. Les élèves porteurs de projets ont été : '''Maxime CHAUDRON''' (2025-2026), '''Ewan KERSIVIEN''' (2026-2027) (LinkedIn) Nous retrouvons également '''Paul LECOMTE''' (LinkedIn) qui a été de 2025 à 2027 chef électronique embarquée avionique et gestion du moteur liquide, chef du segment segment sol, chef du séquenceur, chef du parachute et de la récupération, chef de la CAO et chef live et communication, ainsi qu''''Olivier ANTONIO''' (LinkedIn) qui a été en 2025/2026 chef de la structure et chef de la propulsion. __INDEX__ __AUCUNLIENNOUVELLESECTION__ isxlpc7b6s38xkanf9wpfx6m8gue7as