Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 29304 986393 983861 2026-09-10T07:14:18Z Cdang 1070 /* Fiche environnementale */ ndash 986393 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO₂ (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO₂/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO₂/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO₂/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO₂/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO₂/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10⁵ particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation <sup>+</sup> (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e<sup>-</sup> pour se neutraliser, soit un radical libre <sup>•</sup> (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté <sup>*</sup> dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X<sup>*</sup> ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X<sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> Et ainsi de suite pour former une chaîne CH<sub>3</sub>-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)<sub>''n''</sub>-CH<sub>3</sub>, le catalyseur X<sup>*</sup> se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C<sub>2</sub>H<sub>5</sub>)<sub>3</sub> ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « <sup>•</sup> » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH<sub>2</sub> ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 : PET ; * 02 : PEHD ; * 03 : PVC ; * 04 : PEBD ; * 05 : PC ; * 06 : PS ; * 07 : autres. Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P<sub>D</sub> est proportionnelle à la puissance réactive P<sub>R</sub> et au facteur de perte : : P<sub>D</sub> = tan δ × P<sub>R</sub>. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|-5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ<sub>e</sub><br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E<sub>dis</sub><br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ<sub>e</sub><br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T<sub>v</sub> (ou T<sub>g</sub>), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * au-dessus de la température de fusion T<sub>f</sub>, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T<sub>f</sub> < T<sub>v</sub> < 0,8 × T<sub>f</sub>. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T<sub>v</sub> : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T<sub>v</sub> et T<sub>f</sub> : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T<sub>f</sub>, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m<sup>–1</sup>⋅K<sup>–1</sup>) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ<sub>e</sub> ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O<sub>2</sub>,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O<sub>2</sub>) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} nj3alikol6whny5zhk6dh16r8v7lq65 986394 986393 2026-09-10T07:29:38Z Cdang 1070 /* Dénomination */ symboles Unicode 986394 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO<sub>2</sub> (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10<sup>5</sup> particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH₂=CH₂ « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH₂-CH₂)-( CH₂-CH₂)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation ⁺ (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e^- pour se neutraliser, soit un radical libre ^• (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté ^* dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X^* ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X^* + CH₂=CH₂ → X-CH₂-CH₂^* # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH₂-CH₂^* + CH₂=CH₂ → X-(CH₂-CH₂-CH₂)-CH₂^* Et ainsi de suite pour former une chaîne CH₃-(CH₂-CH₂)_''n''-CH₃, le catalyseur X^* se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C₂H₅)₃ ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « ^• » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH₂ ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P_D est proportionnelle à la puissance réactive P_R et au facteur de perte : : P_D = tan δ × P_R. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|-5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ_e<br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E_dis<br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ_e<br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T_v (ou T_g), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * au-dessus de la température de fusion T_f, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T_f < T_v < 0,8 × T_f. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T_v : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T_v et T_f : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T_f, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m^–1⋅K^–1) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ_e ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O₂,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O₂) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} 21i1c7yg7lp7o2rj5nv8tohuanzd0xs 986395 986394 2026-09-10T07:52:20Z Cdang 1070 /* Propriétés électromagnétiques */ ndash 986395 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO₂ (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO₂/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO₂/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO₂/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO₂/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO₂/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10⁵ particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation <sup>+</sup> (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e<sup>-</sup> pour se neutraliser, soit un radical libre <sup>•</sup> (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté <sup>*</sup> dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X<sup>*</sup> ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X<sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> Et ainsi de suite pour former une chaîne CH<sub>3</sub>-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)<sub>''n''</sub>-CH<sub>3</sub>, le catalyseur X<sup>*</sup> se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C<sub>2</sub>H<sub>5</sub>)<sub>3</sub> ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « <sup>•</sup> » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH<sub>2</sub> ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P<sub>D</sub> est proportionnelle à la puissance réactive P<sub>R</sub> et au facteur de perte : : P<sub>D</sub> = tan δ × P<sub>R</sub>. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|–5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ<sub>e</sub><br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E<sub>dis</sub><br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ<sub>e</sub><br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T<sub>v</sub> (ou T<sub>g</sub>), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * au-dessus de la température de fusion T<sub>f</sub>, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T<sub>f</sub> < T<sub>v</sub> < 0,8 × T<sub>f</sub>. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T<sub>v</sub> : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T<sub>v</sub> et T<sub>f</sub> : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T<sub>f</sub>, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m<sup>–1</sup>⋅K<sup>–1</sup>) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ<sub>e</sub> ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O<sub>2</sub>,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O<sub>2</sub>) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} 4grays7kak4o5njmnc1hjnpq0fixjth 986396 986395 2026-09-10T07:56:15Z Cdang 1070 /* Propriétés électromagnétiques */ corr. param modèle 986396 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO<sub>2</sub> (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10<sup>5</sup> particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH₂=CH₂ « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH₂-CH₂)-( CH₂-CH₂)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation ⁺ (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e^- pour se neutraliser, soit un radical libre ^• (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté ^* dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X^* ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X^* + CH₂=CH₂ → X-CH₂-CH₂^* # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH₂-CH₂^* + CH₂=CH₂ → X-(CH₂-CH₂-CH₂)-CH₂^* Et ainsi de suite pour former une chaîne CH₃-(CH₂-CH₂)_''n''-CH₃, le catalyseur X^* se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C₂H₅)₃ ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « ^• » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH₂ ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P_D est proportionnelle à la puissance réactive P_R et au facteur de perte : : P_D = tan δ × P_R. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|–5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|°C}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|°C}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ_e<br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E_dis<br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ_e<br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T_v (ou T_g), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * au-dessus de la température de fusion T_f, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T_f < T_v < 0,8 × T_f. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T_v : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T_v et T_f : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T_f, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m^–1⋅K^–1) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ_e ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O₂,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O₂) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} scomo26tylz7sbgkoqifksopd5auy9r 986397 986396 2026-09-10T07:57:46Z Cdang 1070 corr. param modèle 986397 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO₂ (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO₂/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO₂/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO₂/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO₂/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO₂/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10⁵ particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation <sup>+</sup> (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e<sup>-</sup> pour se neutraliser, soit un radical libre <sup>•</sup> (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté <sup>*</sup> dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X<sup>*</sup> ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X<sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> Et ainsi de suite pour former une chaîne CH<sub>3</sub>-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)<sub>''n''</sub>-CH<sub>3</sub>, le catalyseur X<sup>*</sup> se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C<sub>2</sub>H<sub>5</sub>)<sub>3</sub> ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « <sup>•</sup> » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH<sub>2</sub> ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P<sub>D</sub> est proportionnelle à la puissance réactive P<sub>R</sub> et au facteur de perte : : P<sub>D</sub> = tan δ × P<sub>R</sub>. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|–5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|°C}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|°C}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ<sub>e</sub><br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E<sub>dis</sub><br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ<sub>e</sub><br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|°C}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T<sub>v</sub> (ou T<sub>g</sub>), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * au-dessus de la température de fusion T<sub>f</sub>, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T<sub>f</sub> < T<sub>v</sub> < 0,8 × T<sub>f</sub>. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T<sub>v</sub> : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T<sub>v</sub> et T<sub>f</sub> : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T<sub>f</sub>, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m<sup>–1</sup>⋅K<sup>–1</sup>) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ<sub>e</sub> ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O<sub>2</sub>,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O<sub>2</sub>) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} ms7b31sdf04147844so54zr498r3f9x 986398 986397 2026-09-10T08:00:28Z Cdang 1070 /* Résister à la chaleur */ fusion uniquement pour les thermoplastiques 986398 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO<sub>2</sub> (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10<sup>5</sup> particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH₂=CH₂ « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH₂-CH₂)-( CH₂-CH₂)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation ⁺ (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e^- pour se neutraliser, soit un radical libre ^• (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté ^* dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X^* ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X^* + CH₂=CH₂ → X-CH₂-CH₂^* # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH₂-CH₂^* + CH₂=CH₂ → X-(CH₂-CH₂-CH₂)-CH₂^* Et ainsi de suite pour former une chaîne CH₃-(CH₂-CH₂)_''n''-CH₃, le catalyseur X^* se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C₂H₅)₃ ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « ^• » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH₂ ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P_D est proportionnelle à la puissance réactive P_R et au facteur de perte : : P_D = tan δ × P_R. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|–5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|°C}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|°C}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ_e<br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E_dis<br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ_e<br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|°C}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T_v (ou T_g), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * pour les thermoplastiques, au-dessus de la température de fusion T_f, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T_f < T_v < 0,8 × T_f. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T_v : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T_v et T_f : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T_f, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m^–1⋅K^–1) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ_e ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O₂,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O₂) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} onbvkpmw0t3htfnxzscxejbjk4xbps4 986399 986398 2026-09-10T08:12:02Z Cdang 1070 Applications 986399 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO₂ (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO₂/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO₂/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO₂/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO₂/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO₂/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10⁵ particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-( CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation <sup>+</sup> (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e<sup>-</sup> pour se neutraliser, soit un radical libre <sup>•</sup> (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté <sup>*</sup> dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X<sup>*</sup> ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X<sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> + CH<sub>2</sub>=CH<sub>2</sub> → X-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)-CH<sub>2</sub><sup>*</sup> Et ainsi de suite pour former une chaîne CH<sub>3</sub>-(CH<sub>2</sub>-CH<sub>2</sub>)<sub>''n''</sub>-CH<sub>3</sub>, le catalyseur X<sup>*</sup> se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C<sub>2</sub>H<sub>5</sub>)<sub>3</sub> ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « <sup>•</sup> » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH<sub>2</sub> ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P<sub>D</sub> est proportionnelle à la puissance réactive P<sub>R</sub> et au facteur de perte : : P<sub>D</sub> = tan δ × P<sub>R</sub>. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|–5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|°C}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|°C}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ<sub>e</sub><br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E<sub>dis</sub><br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ<sub>e</sub><br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|°C}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T<sub>max</sub> ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T<sub>v</sub> (ou T<sub>g</sub>), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * pour les thermoplastiques, au-dessus de la température de fusion T<sub>f</sub>, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T<sub>f</sub> < T<sub>v</sub> < 0,8 × T<sub>f</sub>. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T<sub>v</sub> : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T<sub>v</sub> et T<sub>f</sub> : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T<sub>f</sub>, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m<sup>–1</sup>⋅K<sup>–1</sup>) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ<sub>e</sub> ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O<sub>2</sub>,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O<sub>2</sub>) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Applications == {|class="wikitable" |+ Plymoères pour la fabrication de contenants |- ! scope="col" | Résine ! scope="col" | Applications courantes ! scope="col" | Propriétés importantes |- | PET || bouteille de boisson, barquette de nourriture | transparent, résistant, bonnes propriétés barrière |- | HDPE || bouteille de lait, de produits ménagers | opaque, résistance chimique, durable |- | PP || bouteilles remplies à chaud, plaquettes de médicaments | résistant à la chaleur, léger, souple |- | LDPE|| bouteille compressible, emballage souple | mou, souple, résistance chimique |} == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} ik17hxp5lzgk6hxmxsp3jqupcmaycw7 986400 986399 2026-09-10T08:12:15Z Cdang 1070 /* Applications */ orth 986400 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 18 | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] | niveau = 15 }} == Introduction == Les polymères naturels ont été les premiers matériaux utilisés : bois et fibres végétales, cuir, tendons d'animaux, laine, etc. Les polymères synthétiques ont été développé durant la Seconde Guerre mondiale, les États-Unis étant alors privés de leur approvisionnement en caoutchouc naturel (sève d'hévéa). Les polymères sont utilisés essentiellement pour : * leur souplesse : textiles, joints, flexibles, élastiques, films plastiques (emballage, sacs) ; * leur facilité de mise en forme : moulage d'objets de forme parfois complexe, contenants (flacons, bouteilles, bidons, cuves) ; * leur légèreté (faible masse volumique, certains flottent dans l'eau) : matrices de matériaux composites (construction navale, aviation), objets du quotidien ; * leurs propriétés de surface : anti-adhérence (Téflon) ou au contraire forte adhérence (pneu, peinture, colle) ; * leurs propriétés isolantes, thermiques et électriques ; * leur résistance à divers environnement chimiques : alimentaire, acides, … Les limites d’utilisation sont : * la température : leurs propriétés mécaniques se dégradent dès que la température s'élève, la plupart des polymères s'altèrent, brûlent ou fondent à température modérée (inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) ; * la dégradation sous l'effet des rayons ultraviolets, de l'air (dioxygène, ozone) et de l'eau ; * leur faible dureté, leur faible résistance à la traction (sauf les fibres), à l'érosion ; * l'impact environnemental : les polymères synthétiques sont essentiellement des co-produits de l’exploitation pétrolière ; n’existant pas initialement pas dans la nature, ils ne sont pas intégrés dans un cycle et persistent « éternellement », souvent sous forme fragmentée (microparticules invisibles), et leur affinité avec diverses molécules chimiques font qu'ils se lient avec des polluants et les transportent. == Fiche environnementale == Il existe de très nombreux polymères, mais l’on peut globalement établir la fiche suivante. {{Définition | titre=Fiche environnementale | contenu=* Impact sur l'environnement ** disponibilité : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon, cellulose) ou artificiels (acétates de cellulose) : ressource renouvelable, recyclables, *** polymères synthétiques : ressource fossile non renouvelable (pétrole), pas toujours recyclables ; ** fin de vie : *** facilité de tri : tri à la main sur la base d'indications portées sur les produits, éventuellement hachage et tri des particules par densité, *** réutilisable : les thermoplastiques peuvent être refondus, mais un nombre limité de fois, *** recyclables : les thermodurcissables peuvent être réutilisés sous forme de laine (isolant), *** déchets souvent incinérables avec production d'énergie, certains sont biodégradables et donc compostables, mais uniquement dans des conditions spécifiques et donc pas dans les bacs à compost domestiques<ref>{{lien web |url=https://www.anses.fr/fr/proscrire-matieres-plastiques-biodegradables-compost |titre=Proscrire les matières plastiques du compost domestique |site=Anses |date=2022-11-28 |consulté le=2023-08-31}}.</ref> ; ** énergie primaire totale : extraction du pétrole, électricité (alimentation et chauffage des réacteurs chimiques, des machines de formage), gasoil (transport) : *** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : 25 à {{unité|42|MJ/kg}}, *** silicones (élastomères synthétiques) : 152 à {{unité|168|MJ/kg}}, *** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 223 à {{unité|246|MJ/kg}} ; *** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 77 à {{unité|120|MJ/kg}}, *** thermodurcissables : 84 à {{unité|100|MJ/kg}}, *** thermoplastiques (sauf PEEK) : 52 à {{unité|160|MJ/kg}} ; ** toxicité environnementale (pollutions principales) : *** CO<sub>2</sub> (extraction du pétrole, opérations de pétrochimie), intermédiaires de fabrication (solvants, monomères…) : **** polymères naturels (caoutchouc naturel, polysaccharoses/amidon) : –0,5 à {{unité|+0.3|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** silicones (élastomères synthétiques) : 8 à {{unité|9|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** polyétheréthercétone (PEEK, thermoplastique) : 13 à {{unité|14|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; **** élastomères synthétiques (sauf silicones) : 2 à {{unité|5|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermodurcissables : 3 à {{unité|4|kgCO<sub>2</sub>/kg}}, **** thermoplastiques (sauf PEEK) : 0,3 à {{unité|8|kgCO<sub>2</sub>/kg}} ; *** libération de molécules, dont des perturbateurs endocriniens et des polluants éternels (PFAS) ; *** vecteurs de divers polluants ; *** fragmentation sous forme de microplastiques et nanoplastiques ; *** forçage radiatif dû aux déchets, y compris de micro- et nanoparticules, en raison de la couleur (effet de corps noir)<ref>{{article |nom1=Liu |prénom1=Yu |nom2=Fu |prénom2=Hongbo |nom3=Zhang et coll. |prénom3=Hongliang |titre=Atmospheric warming contributions from airborne microplastics and nanoplastics |périodique=Nature Climate Change |vol=16 |no=5 |pages=598–605 |date=2026-05-04 |consulté le=2026-05-07 |doi=10.1038/s41558-026-02620-1}}.</ref> ; * impact sur la santé : ** toxicité humaine : peuvent dégager des composants organiques volatils ; en se fragmentant, forme des particules qui peuvent fixer des éléments toxiques et être inhalées ou ingérées ; forme des nano-particules qui s'accumulent dans le corps humain, dès la vie fœtale ; peut contenir des polluants, soit résiduels de fabrication, soit par dégradation (PFAS, monochlorure de vinyle, oxyde de titane…) ; ** nocivité en cas d'accident : en général inflammable, dégage des gaz et particules inflammables et parfois des gaz toxiques, et souvent une épaisse fumée noire qui peut gêner l'évacuation des personnes et l'intervention des secours, et provoquer des brûlures internes si on la respire ; parfois fond en gouttant sous l'effet de la chaleur. }} Les procédés de fabrication des objets, et l'usure en service de ces objets<ref>{{lien web |url=https://www.europarl.europa.eu/news/fr/headlines/society/20181116STO19217/microplastiques-sources-impact-et-solutions |titre= Microplastiques : sources, impact et solutions |site=Actualité du Parlement européen |date=2018-11-22 |consulté le=023-05-31}}.</ref>, créent de la poussière de plastique qui peut se retrouver dans les emballages alimentaires (barquettes, bouteilles, biberons) ; ce sont les microplastiques primaires. S'ils ne sont pas collectés, les déchets plastique se retrouvent dans la nature ; le plastique se fragmente et produit des micro-particules, les microplastiques secondaires. Tous ces microparticules se retrouvent au final partout, portés par l’eau et par le vent : océans<ref>{{lien web |url=https://information.tv5monde.com/international/le-7eme-continent-un-monstre-de-plastique-1445 |auteur= Laure de Matos et Antoine Fonteneau |titre=Le 7ème continent : un monstre de plastique |site=TV5 Monde |date=2018-03-24 |consulté le=2023-05-31}}.</ref>, sommet des montagnes<ref>{{lien web |url=https://www.francebleu.fr/emissions/curieux/gironde/l-air-est-il-vraiment-plus-pur-en-montagne |auteur=Philippe Vigier |site=France Bleue Gironde |titre=L'air est il vraiment plus pur en montagne ? |date=2019-11-20 |consulté le=023-05-31}}.</ref>… Elles peuvent ensuite être inhalées ou ingérées<ref>{{article |prénom1=Kieran D. |nom1=Cox |et al=oui |titre=Human Consumption of Microplastics |périodique=Environ. Sci. Technol. |année=2019 |volume=53 |numéro=12 |doi=10.1021/acs.est.9b01517}}.</ref>{{,}}<ref>On dénombre jusqu'à 10<sup>5</sup> particules nanoplastiques par litre d'eau en bouteille plastique, cf. {{article |prénom1=Naixin |nom1=Qian |et al.=oui |titre=Rapid single-particle chemical imaging of nanoplastics by SRS microscopy |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |année=2024 |volume=121 |numéro=3 |mois=01 |jour=08 |doi=10.1073/pnas.2300582121}}.</ref>. {{citation bloc|Une étude réalisée pour WWF avait déjà estimé que l’être humain pouvait ingurgiter jusqu’à l’équivalent d’une carte bancaire de plastique ({{unité|5|grammes}}) par semaine. Mais les microparticules de cette matière ne font pas que traverser notre corps pour se retrouver dans nos excréments. Elles se logent profondément dans notre organisme, pénètrent nos organes, peuvent causer des inflammations. À tel point que ces minuscules bouts de plastique circulent même dans notre sang. C’est ce que révèle une étude « pionnière », dévoilée ce jeudi dans les colonnes du ''Guardian''. Les scientifiques ont retrouvé des microplastiques dans le sang de 77  % des 22 personnes testées, tous des donneurs anonymes « adultes en bonne santé ». Ils ont été en mesure de détecter des particules de minimum {{unité|0.0007|millimètre}}. |Margaux Lacroux |Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains<ref>{{article |prénom1=Margaux |nom1=Lacroux |titre=Des microplastiques détectés pour la première fois dans le sang d’êtres humains |périodique=Libération |date=2022-03-24 |consulté le=2022-03-25 |lire en ligne=https://www.liberation.fr/environnement/pollution/des-microplastique-detectes-pour-la-premiere-fous-dans-le-sang-detres-humains-20220324_QJNSMS4XYVAYFB5SL4NK5WPKKU/ }}.</ref> }} Outre cet aspect de micro-et nanoplastiques, de nombreux polymères posent des problèmes environnementaux et sur la santé. Le polychlorure de vinyle, de sigle PVC, contient une grande partie de chlore (17 % des atomes, 57 % de la masse) qui est un élément minéral ; sa fabrication requiert d'autant moins de pétrole. Par contre, il dégage des gaz extrêmement toxiques en brûlant (acide chlorhydrique), et si de l’eau stagne dans une canalisation ou un récipient en PVC, elle peut se charger en chlorure de vinyle monomère qui est cancérigène. Il est de ce fait interdit dans certains pays<ref>Suède, Autriche, Danemark ; voir aussi le chapitre ''« {{lang|en|Vinyl chloride}} »'' de {{ouvrage | langue = en | titre = Air quality guidelines for Europe | numéro d'édition = 2 | collection = WHO Regional Publications, European Series | numéro dans collection = 91 | éditeur = OMS | année = 2000 }}</ref> ; en France, il est interdit pour l'alimentation. Le PTFE/Téflon est fabriqué à partir de composés perfluorés (PFAS : ''{{lang|en|per- and polyfluoroalkyl substances}}'') qui sont des « polluants éternels », des polluants organiques persistants (POP) : ils sont très stables, se dégradent extrêmement lentement et donc s'accumulent dans l'environnement et les organismes. Par ailleurs, lorsqu'il est chauffé au-delà de {{unité|300|°C}}, le PTFE émet des gaz à effet de serre. Le silicone est un polymère d'oligosiloxanes et le procédé de fabrication crée des oligosiloxanes cycliques, qui sont des perturbateurs endocriniens. Enfin, la notion de recyclabilité est contestée<ref>{{article |prénom1=Laura |nom1=Motet |titre=Loi antigaspillage : « Recycler 100 % de nos plastiques à l’infini est une illusion » |périodique=Le Monde |année=2020 |mois=01 |jour=31 |url=https://www.lemonde.fr/planete/article/2020/01/31/loi-antigaspillage-recycler-100-de-nos-plastiques-a-l-infini-est-une-illusion_6027930_3244.html |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Recycler, cela signifie pouvoir refaire la même pièce à partir du matériau d'une pièce usagée. Les polymères étant mis en forme essentiellement par moulage, cela signifie qu'il faut pouvoir ramollir la matière, ce qui n’est possible que pour les thermoplastiques, par chauffage. Mais même pour les thermoplastiques, cela ne peut se faire qu'un nombre limité de fois. D'une part, les résines de base n'ont pas la même longueur de chaîne, en fonction des propriétés attendues ; lorsque l'on collecte des polymères d'une nature donnée, on mélange donc des chaînes de longueur différente puisqu'ils proviennent d'objets différents, et la résine obtenue peut être impropre à certaines applications. Mais d'autre part, le fait de purifier la résine — enlever les additifs —, puis de la chauffer pour la remettre en forme dégrade les chaînes polymère, la matière se dégrade donc au fil des recyclages. Au bout d'un certain nombre de cycles, la matière thermoplastique doit donc être sortie du recyclage, elle doit être décyclée. Elle peut alors être utilisée sous forme de paillettes, par exemple comme isolant. Ce faisant, elle devient fortement émettrice de microplastiques, du fait de sa forme, et elle entre en concurrence avec d'autres matériaux, par exemple les isolants naturels (laine de mouton, de bois). Par exemple, le PET, qui sert à fabriquer les bouteilles plastique, est le plastique « le plus recyclable ». Le PET recyclé (rPET) a un grand intérêt économique, au point qu'il devient une ressource importante pour les communes françaises qui le collectent et le revendent (sous forme de matière première de recyclage, MPR) : celles-ci s'opposent à la consigne des bouteilles plastiques, qui les priverait d'une part importante de leurs revenus<ref>{{article |auteur=Club Techni.Cités |titre=Comprendre la polémique sur la consigne des bouteilles plastiques |périodique=La Gazette des communes |année=2019 |mois=12 |jour=9 |url=https://www.lagazettedescommunes.com/653776/comprendre-la-polemique-sur-la-consigne-des-bouteilles-plastiques/ |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Lorsqu'il devient impropre au recyclage, le PET sert à fabriquer des chandails en fourrure polaire, ce qui prive la laine de mouton de débouchés, et est une source de microplastique lors des lavages<ref>{{article |prénom1=Magali |nom1=Reinert |titre=Microplastiques : comment nos vêtements polluent |périodique=60 millions de consommateurs |année=2020 |mois=10 |jour=8 |url=https://www.60millions-mag.com/2020/10/08/microplastiques-comment-nos-vetements-polluent-17554 |consulté le=2023-08-31}}</ref>. Une des pistes est le « recyclage chimique » : il consiste à régénérer de la résine « pure » par des procédés tels que la purification à l'aide de solvants, la dépolymérisation et la thermolyse. Ce sont des procédés coûteux, énergivores et encore au stade de développement<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/fr/recyclage-chimique-ou-en-sommes-nous-definition-tendance |titre=Recyclage chimique : où en sommes-nous ? |site=Polyvia |date=2023-01-17 |consulté le=2023-09-04}}</ref> ; les procédés actuellement développés permettent d'obtenir des huiles et condensats organiques, qui peuvent servir de matière première à divers procédés de synthèse, mais pas des résines directement<ref>{{lien web |url=https://pvc.org/wp-content/uploads/2019/11/PE_Recovery_Options.pdf |titre=PVC Recovery Options: Environmental and Economic System Analysis |site=PVC.org |format=PDF |date=2003-04 |consulté le=2023-09-04 |lang=en}}, p. 24-33.</ref>{{,}}<ref>{{lien web |url=https://www.polyvia.fr/sites/default/files/2023-01/Rapport%20Recyclage%20Chimique%202022_0.pdf |titre=Recyclage chimique : Où en sommes-nous ? Retour sur les annonces de 2022 |site=Polyvia |format=PDF |date=2023-01 |consulté le=2023-09-04}}.</ref>. ; Question Projetons-nous dans un avenir proche : la matière première, le pétrole, vient à manquer (le [[w:fr:pic pétrolier`|pic pétrolier]] étant désormais passé), les prix s'envolent, le critère économique (fabrication en grande série à moindre coût) ne se justifie plus. Quelles sont les applications qui, selon vous, doivent avoir la priorité pour l’utilisation des polymères synthétiques ? {{solution | titre = Réponse | contenu = Si nous regardons les objets de notre entourage : * pour les objets-coque (bouteilles, canalisations, boîtes, divers étuis et coques, capsules, enceintes…) et la menuiserie (fenêtre et portes en PVC), nous pouvons revenir à des produits en verre, bois ou métal, avec un poids et un encombrement plus importants ; * pour les objets souples, on peut revenir aux caoutchoucs naturels et latex, au cuir ou à des textiles naturels enduits de cire ou d'huile, avec une performance et une durée de vie moindres ; * des parties de véhicules en composites (voitures, avions), mais la pénurie de pétrole, qui entraînera une pénurie d'énergie, imposera de toute façon de limiter les déplacements (la production d'électricité, qu'elle soit nucléaire ou renouvelable, d'hydrogène et d'agrocarburant ne sera pas en mesure de couvrir tous les besoins actuellement satisfaits par les énergies carbonées, et il n'y aura plus de bitume pour couvrir les routes) ; * des équipements de sécurité légers et protecteurs : casques, visières, cordages et sangles, vêtements ignifugés, gilets pare-balle… Les applications qui semblent vraiment « critiques » (pour lesquelles les polymères synthétiques apportent vraiment un avantage important) sont : * les joints haute performance ; * les matériels de protection ; * le matériel médical jetable ; * en formant la matrice de matériaux composites, ils interviennent dans des applications nécessitant résistance et légèreté, comme des pièces de véhicules (automobiles, aéronefs), permettant de diminuer la consommation de pétrole et l'émission de gaz à effets de serre liées au transport, et les pales d'éoliennes, éléments importants pour la décarbonation de la production d'énergie. Ce sont des choix discutables, chacun pourra apporter sa réponse. }} == Composition, fabrication et mise en œuvre == [[Fichier:Structure polymere echelle.svg|thumb|400px|Structure d'un polymère]] Comme dit précédemment (voir ''[[../Structure de la matière et propriétés en découlant#Polymères|Structure de la matière et propriétés en découlant > Polymères]]''), les polymères sont des macromolécules : de longues chaînes d'atomes, essentiellement de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O), parfois d'azote (N), de fluor (F), de chlore (Cl), etc. On a à la base une petite molécule appelée « monomère ». Les monomères s'assemblent pour former la longue chaîne polymère, ce terme signifiant « plusieurs monomères ». Les chaînes en elles-mêmes sont souples, mais elles peuvent se lier entre elles par pontage (réticulation) et donner une structure rigide. === Polymères naturels === Les polymères naturels d'origine végétale sont fabriqués par les organismes vivants : * la photosynthèse chlorophyllienne des plantes prélève de l'eau et du gaz carbonique de l'air pour fabriquer les polymères, en particulier l'amidon et la cellulose (bois, tiges) ; leur culture fait donc diminuer la teneur en CO₂ dans l'atmosphère ; * certaines cellules des animaux et plantes produisent des protéines, les kératines et collagène, dont le cuir, la laine et la soie. Ces produits sont prélevés et travaillés pour donner les produits finis, essentiellement des textiles (habillement, cordages, draps, etc.) : coton, lin, chanvre, laine, soie, etc. ; Bois Le bois est prélevé tel quel (abattage d'arbres) puis usiné (sciage) pour faire des planches ou des poutres. Il faut le laisser sécher ou bien l'étuver avant de l’utiliser. Des traitements permettent d'améliorer ses propriétés : * traitement d'imprégnation de produits insecticides et fongicides, pour éviter la moisissure, les champignons ([[w:mérule|mérule]]) et les insectes [[w:xylophage|xylophage]]s et [[w:lignivore|lignivore]]s (termites, larves de capricorne) ; * traitement thermique modifiant la structure de l'extérieur et protégeant contre le pourrissement ; * cintrage à la vapeur d'eau, permettant d’avoir des pièces courbes sans couper la fibre : le bois vert ou humidifié sous étuve est très souple, on le courbe et on le laisse sécher sous contrainte. Le bois est hygroscopique : il peut absorber une grande quantité d'humidité, il « travaille » sous l'effet des conditions climatiques. Le bois est également la matière première principale de la pâte à papier : il est broyé dans de l'eau, ou bien cuit avec des produits chimiques, afin que les fibres se dispersent, puis on ajoute des produits donnant une tenue à la feuille (liant) et limitant la diffusion de l'encre (imperméabilisant). On peut aussi utiliser comme matière première des chiffons de lin, chanvre ou coton, ou encore du fumier (la paille broyée par la mastication de l'animal se retrouve dans l'excrément). [[Fichier:Yarn twist.png|thumb|100px|Torsion des fibres en Z ou en S pour former des fils]] ; Tiges de plantes et poils d'animaux Les tiges de certaines plante et la laine des animaux peut servir à faire des fils pour former des cordages, des filets ou des tissus : les fibres courtes sont assemblées et torsadées. On peut utiliser ces produits sous forme de « laine » pour l'isolation thermique ou phonique : les fibres sont disposée de manière désordonnée et aérée. Les tiges de plante, essentiellement chanvre et lin, sont écrasées et cardées (brossées) ou peignées afin de séparer les fibres. Pour le coton, les fibres utilisées sont celles qui entourent la graine. Les fibres, relativement courtes, sont ensuite filées, c'est-à-dire torsadées afin de former un fil long et continu. La laine est obtenue à partir de poils d'animaux : les animaux — moutons, chèvre (mohair, cachemire), lapins (angora), lama, alpaga, yack, chameau, etc. —, sont tondus, puis les poils sont lavés, cardés et filés pour former la laine. On peut aussi former du feutre en étalant les fibres courtes et en les soumettant à de la vapeur d'eau ou à de l'eau bouillante. Les fibres végétales et la laine sont hygroscopiques : elles peuvent absorber une grande quantité d'humidité. {{clr}} [[Fichier:Tabby3sm.png|thumb|Croisement des fils dans un drap]] Les fils peuvent ensuite être tissés, c'est-à-dire croisés, pour former un tissu. {{clr}} On peut assembler les fils en les torsadant, ce qui donne un toron ; les torons sont à leur tour torsadés en sens inverse pour former un cordage. On peut aussi les tresser. Le toronnage et le tressage permettent de former des liens plus résistants. <gallery> Fichier:Hawser-laid rope (Seaman's Pocket-Book, 1943).jpg | Toronnage Fichier:Braid StepBystep.jpg | Tressage </gallery> {{clr}} ; Cuir Le cuir est la peau d'animaux morts, essentiellement de vache ou de porcs. Cette peau est salée pour éliminer l'eau et éviter le pourrissement, lavée, puis on retire la partie extérieure (poils) et interne (partie sous-cutanée). La peau est tannée, c'est-à-dire traitée par des tanins, afin de la rendre imputrescible. ; Caoutchouc L'écorce de l'hévéa contient du latex ; il s'agit du liquide contenu dans les cellules de l'écorce tendre (autour du cambium). On obtient ainsi du caoutchouc naturel, auquel on mélange de la silice, de la craie, du soufre, des additifs, etc. Le caoutchouc peut être mis en forme par pressage dans un moule, mais aussi en trempant une forme dans un bain de latex (liquide), qui forme alors un film. Le produit est ensuite chauffé pour assurer la vulcanisation : le soufre crée des pontages entre les chaînes de polymère et renforce le caoutchouc, qui devient élastique. ; Comportement au feu Le bois et les fibres naturelles brûlent mais ne dégagent pas de gaz toxiques et se consument lentement par rapport à la plupart des polymères synthétiques. Le caoutchouc brûle rapidement en dégageant une épaisse fumée noire. Le cuir est incombustible et était utilisé pour les vestes des sapeurs-pompiers ; il est maintenant remplacé par des polymères synthétiques thermostables (marques Kermel, Nomex, Kevlar), plus légers. === Polymères artificiels === Les polymères artificiels sont obtenus par modification des polymères naturels. On peut citer les dérivés de la cellulose, utilisés en particulier pour les anciennes pellicules de photographie et de cinéma, et fibres textiles : trinitrate de cellulose (nitrocellulose, coton poudre), triacétate de cellulose (viscose, soie artificielle, rayonne). La cellulose subit des réactions chimiques, le produit obtenu est utilisé comme les polymères synthétiques (c'est un matériau thermoplastique). Son origine naturelle n'épuise pas les ressources pétrolières. Cependant, l'énergie primaire (108 à {{unité|119|MJ/kg}}) et les rejets de gaz à effet de serre (4 à {{unité|5|kgCO₂/kg}}) sont assez élevés par rapport aux autres thermoplastiques. === Polymères de synthèse === [[Fichier:Colonne distillazione.jpg | thumb | Colonne de distillation]] Les polymères synthétiques sont issus de la chimie du pétrole. La distillation du pétrole permet d'isoler les hydrocarbures ayant entre 6 et 11 atomes de carbone. Le pétrole est chauffé à environ {{unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la colonne de distillation fait {{unité|60|{{abréviation|m|mètre}}}} de haut, et l’on récupère le naphta, c'est-à-dire la fraction qui se condense entre 180 et {{unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les molécules du naphta sont cassées par de la vapeur d'eau dans un vapocraqueur, ce qui donne des monomères, puis on effectue des réactions chimiques afin d'assembler les molécules entres elles, c’est la polymérisation. {{clr}} [[Fichier:Polymerisation PE generique.svg|thumb|300px|Mécanisme générique de polymérisation du polyéthylène]] Par exemple, les molécules d'éthylène CH₂=CH₂ « s'accrochent » lors de la polymérisation pour former le polyéthylène …-( CH₂-CH₂)-( CH₂-CH₂)-… Pour cela, on utilise un catalyseur, c'est-à-dire une molécule permettant la réaction chimique mais ne faisant pas partie du produit final ; cette molécule est notée X dans la suite. Cette molécule possède un site actif permettant « d'ouvrir » la double liaison : soit un cation ⁺ (déficit d'électron) qui va capter un des deux électrons de la liaison e^- pour se neutraliser, soit un radical libre ^• (électron célibataire) qui va capter un des deux électrons de la liaison pour former une paire. Ce site actif est noté ^* dans la suite. La réaction est donc : # Amorçage : le catalyseur X^* ouvre la liaison et se greffe sur le monomère (l'éthylène) : #: X^* + CH₂=CH₂ → X-CH₂-CH₂^* # Propagation : la molécule formée est porteuse du site actif, elle va donc réagir avec un monomère : #: X-CH₂-CH₂^* + CH₂=CH₂ → X-(CH₂-CH₂-CH₂)-CH₂^* Et ainsi de suite pour former une chaîne CH₃-(CH₂-CH₂)_''n''-CH₃, le catalyseur X^* se détachant en fin de réaction. Pour le polyéthylène, on dispose de plusieurs procédés : * procédé « Ziegler-Natta » : on utilise un catalyseur de type organométallique, c'est-à-dire une molécule organique contenant un atome métallique comme le triéthylaluminium Al(C₂H₅)₃ ; cela donne du polyéthylène linéaire (PE-HD) ; * polymérisation par voie radicalaire : on utilise une molécule possédant un électron célibataire « ^• » ; cela produit un polymère ramifié (PE-BD) ; * polymérisation catalytique par métallocène : un métallocène est un complexe métallique — association d'un cation métallique et d'un anion organique —, ce catalyseur permet d'obtenir du polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW). {{clr}} [[Fichier:LLDPE.jpg|thumb|Granulés de polyéthylène]] Cette polymérisation forme une résine de base à laquelle on peut rajouter : * des additifs : ** pigments, colorants, ** assouplissants, dont les controversés phtalates et le bisphénol A (potentiellement toxiques et qui sont utilisés pour des objets à destination de nourrissons) : ces molécules se placent entre les chaînes de polymère et réduisent les attractions réciproques, ce qui diminue la rigidité du produit, ** ignifugeant, notamment à base de métaux lourds, ** produits dégageant des gaz, ce qui permet la fabrication de mousses, ** … ; * des charges : des fibres ou particules (poudre) destinées à renforcer mécaniquement le produit. La matière première issue de la pétrochimie se présente en général sous la forme de granulés. {{clr}} [[Fichier:Principe moulage injection polymere.svg|thumb|Principe du moulage par injection plastique ;<br />1. vis d'extrusion ; 2. trémie ; 3. granulés ; 4. groupe de plastification ; 5. éléments chauffants ; 6. moule.]] Les granulés sont fondus et moulés par injection : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * la vis sans fin tourne en reculant : la chaleur produite par le frottement achève de faire fondre les granulés ; * la vis arrête de tourner et avance, poussant le polymère fondu dans le moule comme un piston de seringue. Les moules sont en général en acier très durs afin de résister à la chaleur et à la pression (typiquement {{unité|4|t}} de poussée). Le moule est refroidi (thermorégulé) par un circuit d'eau. {{clr}} [[Fichier:Principe extrusion soufflage polymere.svg | thumb | Principe de l'extrusion-soufflage ;<br /> 1. vis d'extrusion ; 2. air comprimé ; 3. trémie ; 4. granulés ; 5. groupe de plastification ; 6. éléments chauffants ; 7. broyage ; 8. groupe hydraulique pour le vérin ; 9. filière ; 10. noyau/poinçon.]] On peut aussi fabriquer des fils par extrusion : * les granulés sont introduits dans une vis sans fin et chauffés ; * le bout de la vis a un pas plus resserré puis a des dents qui assurent un malaxage et termine la fusion ; * le polymère liquide coule dans une filière et se solidifie. Les fils peuvent ensuite être travaillés comme les fibres naturelles : filage, tissage. On peut ajouter un « noyau » qui permet d'obtenir un tube au lieu d'un fil. La position du noyau est réglée par un vérin, ce qui permet de faire varier l'épaisseur de la paroi (paraison). Si l’on pince le tube et que l’on introduit de l'air comprimé, on fait gonfler le tube ce qui forme un bulbe, on parle alors d'extrusion-soufflage. Puis, une cisaille vient couper cette forme. La forme obtenue sert de préforme pour la fabrication de bouteilles et de flacons par soufflage : la préforme est chauffée et introduite dans un moule, et de l'air comprimé vient plaquer le plastique contre les parois du moule. Le moule est souvent en alliage d'aluminium pour diminuer sa masse, donc son inertie, et permettre une forte cadence de production. En augmentant la pression de l'air, on forme un tube à la paroi très fine qui sera ensuite coupé pour former un film plastique. {{clr}} Un film polymère peut être mis en forme par thermoformage : il est chauffé, mis sous forme de bulle par soufflage, puis on le plaque sur une forme en aspirant l'air. Le polymère peut aussi être dispersé dans un solvant pour former une résine, une colle ou une peinture. La couche de polymère se reforme après application lorsque le solvant s'évapore. Dans certains cas, le produit se présente sous la forme de deux pâtes à mélanger (bicomposant), la réticulation (formation d'un réseau tridimensionnel) se faisant par mise en contact des deux pâtes. === Biopolymères === Le terme « biopolymère » ou « bioplastique » n'a pas de définition précise et est surtout un terme commercial, utilisé pour flatter la fibre écologique des consommateurs. Il faut distinguer : * les polymères biodégradables<ref>{{lien web |url=https://www.techniques-ingenieur.fr/glossaire/polymere-biodegradable |titre=# Polymère biodégradable : définition et propriétés |site=Techniques de l'ingénieur |consulté le=2023-05-31}}</ref> : ces polymères se fragmentent tout seuls, mais leur matière première peut être autant naturelle — par exemple amidon — que des dérivés du pétrole ; en général, la fragmentation forme des microparticules, il ne s'agit donc pas de biodégradation, mais dans certains cas, il est possible de les composter, mais cela ne peut se faire que dans certaines conditions de température et d'humidité, leur fin de vie ne nécessite alors une dépense d'énergie modérée, inférieure aux polymères synthétiques classiques (collecte, transformation ou incinération) ; * les polymères issus de la biomasse : polymères naturels — produits par la faune et la flore — ou artificiels — produits par polymérisation chimique ou par des micro-organisme génétiquement modifiés. Par exemple, les PHA (polyhydroxyalkanoates) sont des polyesters fabriqués par des bactéries à partir de sucres (par exemple amidon de maïs). Les « biopolymères » font donc partie des catégories déjà citées : synthétiques, naturels ou artificiels. == Dénomination == Les polymères sont en général nommé d’après le nom du monomère ; on utilise souvent les initiales, en particulier dans le logo pour le tri des déchets, selon la norme ISO 1043, ainsi que « code d'identification des résines » de la Society of the Plastics Industry (SPI, Canada) : : par exemple monomère = éthylène, polymère = polyéthylène, abréviation PE ; : le PE possède plusieurs codes d'identification des résines : 02 pour le polyéthylène haute densité (PE-HD), 04 pour le polyéthylène basse densité (PE-BD, ou PE-LD pour ''low density'') La norme utilise les noms anglais, il y a donc des inversions d'initiales par rapport aux noms français, par exemple : * chlorure de vinyle = ''vinyl chloride'', poly(chlorure de vinyle) = ''poly(vinyl chloride)'', PVC ; * téréphtalate d'éthylène = ''ethylene terephthalate'', poly(téréphtalate d'éthylène) = ''poly(ethylene terephthalate)'', PET ; * … Les codes des élastomères se terminent souvent par R pour ''rubber'' en anglais (caoutchouc) : * NR pour le caoutchouc naturel (''natural rubber'') ; * IR pour le polyisoprène (synthétique) (''isoprene rubber'') ; * NBR pour le butadiène-acrylonitrile ou « caoutchouc nitrile » (''nitrile butadiene rubber'') ; * … <gallery> Fichier:Ethene-2D-flat.png | Monomère : molécule d'éthylène (ou éthène) Fichier:Polyethylene_repeat_unit.svg | Polymère : motif du PE Fichier:Polyethylene-3D-vdW.png | Chaîne de polyéthylène File:Polyethylene.jpg | Logo pour le tri des déchets Fichier:Plastic-recyc-02.svg | Code d'identification des résines du PEHD Fichier:Plastic-recyc-04.svg | Code d'identification des résines du PEBD </gallery> Les polymères sont classés par famille : * famille « mécanique » : thermmoplastique, thermodurcissable, élastomère (voir plus loin) ; * chimique : par famille de monomère. Les abréviations, ou codes, des polymères les plus courants sont, par famille : * thermoplastiques : ** acétals de polyaldéhyde, polyacétals : polyoxyméthylène (POM), ** acryliques : polyméthacrylate de méthyle (PMMA, Plexiglas), polyacrylonitrile (PAN), 2-cyanoacrylate de méthyle (cyanoacrylate, MCA), ** cellulosiques : triacétate de cellulose (CA), ** polyamides : polyamide 6 (PA 6), polyamide 6-6 (PA 6-6, Nylon), polyamide 11 (PA 11), *** polyamides aromatiques, ou aramides : poly-méta-phénylène isophtalamide (MDP-I, méta-aramide, Nomex), poly-para-phénylène téréphtalamide (PPP-T, para-aramide, Kevlar) ** polycarbonate (PC) ; ** polyéther : polyétheréthercétone (PEEK), ** polyesters : polytéréphtalate d'éthylène (PET), polyester insaturé (UP), polytéréphtalate de butylène (PBT), ** polyoléfines : polyéthylène (PE), polyéthylène à basse densité (PEBD, LDPE), polyéthylène à basse densité linéaire (PEBDL, LLDPE), polyéthylène à haute densité (PEHD), polyéthylène à ultra-haute masse molaire (PE-UHMW), polypropylène (PP), *** polyoléfines fluorés : polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), ** styréniques : polystyrène (PS), polystyrène butadiène (SB, polystyrène-choc), styrène acrylonitrile (SAN), acrylonitrile butadiène styrène (ABS), ** vinyliques : polychlorure de vinyle (PVC), polychlorure de vinylidène (PVDC)<ref>Au sens strict du terme, un vinyle est une molécule de type R-C=CH₂ ; le polyéthylène (PE), le polystyrène (PS), le polyisobutène (PIB), le polyméthacrylate de méthyle (PMMA), le polytétrafluoroéthylène (PTFE, Téflon), etc. sont donc de la famille des vinyliques ; dans la pratique, ce terme est plutôt réservé au PVC et PVDC.</ref> ; * thermodurcissables : ** époxydes : polyépoxyde (EP) ** phénoliques : phénol-formaldéhyde (phénoplaste, PF), ** polyimides (PI) ; * élastomères : ** butadiène-acrylonitrile (NBR, caoutchouc nitrile) ; ** élastomères fluorés, fluoroélastomères : FPM (''fluorinated propylene monomer'', dénommé FKM dans la norme étatsunienne ASTM D 1418), ** éthylène-acétate de vinyle (EVA), ** polychloroprène (CR), ** polyisoprène (IR, caoutchouc synthétique), ** silicones ou siloxanes : polydiméthylsiloxane (PDMS), polydiphénylsiloxane (PDPS) ; Les codes d'identification des résines sont : * 01 (♳) : PET ; * 02 (♴) : PEHD ; * 03 (♵) : PVC ; * 04 (♶) : PEBD ; * 05 (♷) : PC ; * 06 (♸) : PS ; * 07 (♹) : autres (O pour ''{{lang|en|others}}''). Certain polymères sont fréquemment désignés par un nom commercial ou un nom de marque, ou bien possèdent plusieurs noms chimiques, par exemple : * polymères thermoplastiques ** acétal (acétal de polyaldéhyde) : polyoxyméthylène (POM), ** Altuglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Celluloid : acétate de cellulose (CA), ** Kermel : méta-aramide (MDP-I), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Kevlar : para-aramide (PPP-T), polyamide aromatique (PA) (polymère technique), ** Loctite : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Nomex : méta-aramide (MDP-I) (polymère technique), ** Nylon (marque déposée par Burberry) : polyamide 6-6 (PA 6-6), ** Plexiglas : polyméthacrylate de méthyle (PMMA), ** Rilsan : polyamide 11 (PA 11), ** Super Glue : cyanoacrylate (MCA) (polymère technique), ** Téflon : polytétrafluoroéthylène (PTFE) (polymère technique), ** Tergal : polytéréphtalate d'éthylène (PET), ** viscose : acétate de cellulose (CA), * polymères thermodurcissables : ** Araldite : colle époxyde (EP), ** Bakélite : phénoplaste (PF), ** Kapton : polyimide aromatique (PI), * élastomères : ** Adiprene : polyuréthane (AU, EU), ** Buna N : caoutchouc nitrile (NBR), ** Buna S : caoutchouc de styrène-butadiène (SBR), ** Butyl : caoutchouc d'isobutène-isoprène (IIR), ** Lycra : élasthanne, ** Fluorel : fluoroélastomère (FPM), ** Hypalon : polyéthylène chlorosulfoné (CSM), ** Néoprène : polychloroprène (CR), ** Perbunan : caoutchouc nitrile (NBR), ** Vistalon : caoutchouc d'éthylène-propylène (EPM, EPDM), ** Viton : fluoroélastomère (FPM), ** Vulcolan : polyuréthane (AU, EU). ; Note Il ne s'agit pas de connaître tous les codes et équivalences de noms commerciaux. Par contre, il faut être capable de reconnaître un sigle correspondant à une résine, et prendre l'habitude, face à un nom commercial, de rechercher la dénomination chimique. Cela assure une indépendance par rapport aux fournisseur (possibilité de commander un produit similaire ayant un autre nom commercial par exemple). == Être lourd ou léger == Les polymères ont une masse volumique faible, similaire à l'eau (de l’ordre de {{unité|1|kg/dm{{exp|3}}}}). Les masses volumiques de quelques polymères sont indiquées ci-après : * PS expansé : 0,016 à {{unité|0.64|kg/dm{{exp|3}}}} ; * cellulose : 0,2 à {{unité|0.4|kg/dm{{exp|3}}}} ; ** bois : 0,1 (balsa), 0,4 (sapin, épicéa, peuplier), 0,8-1 (if, teck, olivier), {{unité|1.4|kg/dm{{exp|3}}}} (bois de fer) ; * IR : {{unité|0.68|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PP : {{unité|0.9|kg/dm{{exp|3}}}} ; * EVA : {{unité|0.93|kg/dm{{exp|3}}}} * PE : 0,91 (PEBD) à {{unité|0.96|kg/dm{{exp|3}}}} (PEHD) ; * PS extrudé : {{unité|1.05|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PA 6-6 : {{unité|1.15|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PC : {{unité|1.2|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PEEK : {{unité|1.32|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PET : 1,34 à {{unité|1.39|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PVC : {{unité|1.38|kg/dm{{exp|3}}}} ; * POM : {{unité|1.42|kg/dm{{exp|3}}}} ; * aramide : {{unité|1.45|kg/dm{{exp|3}}}} ; * FPM : {{unité|1.8|kg/dm{{exp|3}}}} ; * PTFE : {{unité|2.16|kg/dm{{exp|3}}}}. == Propriétés électromagnétiques == Les polymères sont dans leur très grande majorité des isolants électriques, de l’ordre de 10{{exp|9}} à {{unité|10{{exp|16}}|Ω⋅m}} (10{{exp|-6}} à {{unité|10{{exp|-8}}|Ω⋅m}} pour les métaux), soit 10{{exp|11}} à {{unité|10{{exp|18}}|Ω⋅cm}} (10{{exp|-4}} à {{unité|10{{exp|-6}}|Ω⋅cm}} pour les métaux) ; ils sont par exemple utilisés pour le gainage de câbles électriques (PE, CR, PVC, silicone, etc.). Certains sont chargés en graphite pour faire des polymères conducteurs : le courant électrique peut passer de particule de graphite en particule de graphite (percolation). On peut aussi mettre des fibres métalliques. On obtient ainsi des produits avec une résistivité de 0,1 à {{unité|100|Ω⋅m}} (10 à {{unité|10000|Ω⋅cm}}). Un fil dans lequel passe un courant alternatif (source de puissance ou bien signal d'information) forme un condensateur avec la terre. La gaine fait partie du diélectrique de ce condensateur. Il en résulte une perte de puissance, caractérisée par un « facteur de perte diélectrique » noté « tan δ » (tangente delta) ; la puissance dissipée P_D est proportionnelle à la puissance réactive P_R et au facteur de perte : : P_D = tan δ × P_R. Pour un condensateur parfait, on a tan δ = 0, toute la puissance du condensateur est dans la puissance réactive. Pour les polymères listés ci-dessous, tan δ varie de 3⋅10{{exp|–5}} à 0,15, soit 0,003 % à 15 %. D'un point de vue du matériau, le champ électrique variable tend à orienter les chaînes de polymère ; on a un phénomène équivalent à un courant électrique entre l'extérieur de la gaine et le fil. La viscosité entre les chaînes influence ce courant. Le facteur de perte dépend de la fréquence du courant. [[Fichier:Rigidite dielectrique polymeres temperature.svg|thumb|Variation de la rigidité diélectrique avec la température ; notons que l’on est un ordre de grandeur au dessus des valeurs tabulées, on s'attachera donc essentiellement à la forme des courbes]] La rigidité diélectrique (résistance au claquage) de quelques polymères est rappelée dans le tableau ci-dessous. Cette valeur diminue avec la température, mais varie aussi avec l'humidité : les molécules d'eau peuvent se glisser entre les chaînes polymères, ce qui, outre un gonflement, dégrade fortement la capacité à résister au claquage. Un taux d'humidité de 95 % pour une température supérieure à {{Température|100|°C}} provoque un claquage rapide de la plupart des polymères. À {{Température|20|°C}}, la rigidité diélectrique varie typiquement de 1 à {{unité|6⋅10{{exp|6}}|V/m}} ({{formatnum:1000}} à {{unité|6000|kV/m}}, 0,01 à {{Unité|0.06|MV/cm}}). {| class = "wikitable" |+ Propriétés électromagnétiques de quelques polymères usuels<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 }} </ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteurs = Y. Déplanche | titre = Mémo formulaire | éditeur = Casteilla | année = 1991 | isbn = 2-7135-1190-9 | passage = 237 }} </ref> |- ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | Résistivité<br /> transversale<br /> ρ_e<br /> ({{unité|10{{exp|12}}|Ω⋅m}}) ! scope = "col" | Facteur de pertes<br /> diélectriques<br /> de 50 à {{unité|100|kHz}}<br /> tan δ<br /> ( × 10{{exp|-3}}) ! scope = "col" | Rigidité<br /> diélectrique<br /> E_dis<br />(MV/m, kV/mm) |- | PE-bd || {{formatnum:1000}} || 0,3 || 16,8 |- | PE-hd || > 100 || 0,2 à 0,4 || 17,6 |- | PE-UHMW || 10 || 0,2 || |- | PP || 100 || 0,35 || 20 |- | PVC rigide || 100 || 14 à 18 || 11 |- | PVC souple || 0,01 à 1 || 100 à 150 || 11 |- | PVDC || 1 à 100 || 30 à 80 || |- | PS || 500 || 0,2 || 16 |- | SB || 100 || 0,3 || 12 |- | ABS || 10 || 8 || 12,5 |- | SAN || 100 || 6 à 10 || 12 |- | PMMA || 10 || 30 à 60 || 14 |- | PET || 100 || 2 à 20 || |- | PBT || 100 || 2 à 20 || |- | PA 6 || 0,5 || 10 à 30 || |- | PA 11 || 0,78 || 50 || 25 |- | PA 12 || 10 || 30 à 40 || |- | PA 6-6 || 0,1 à 10 || 40 à 50 || 24 |- | POM || 10 || 1 à 5 || 15 |- | PTFE || {{formatnum:10000}} || 0,03 à 0,07 || 17,5 |- | PVDF || 1 || 10 || |- | CA || 1 || 7 à 70 || 8 |- | PC || 100 || 0,9 à 10 || 15 |- | PSU || 500 || 1 à 5 || |- | PEI || 70 || 2,5 || |- | PAI || 100 || 26 à 31 || |- | PEEK || 50 || 3 || |- | UP rigide || 100 || 3 à 6 || 14 |- | UP souple || {{formatnum:1000}} || 10 à 50 || 14 |- | EP || 0,001 || 2 à 50 || 16 |} {| class = "wikitable sortable" |+ Résistivité transversale de quelques polymères conducteurs<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 121 }} </ref> |- ! scope = "col" | Nom commercial ! scope = "col" | Matériau ! scope = "col" | ρ_e<br /> (Ω⋅m) |- | Latistat 43/7-02 || PE-bd + charge<br /> (confidentiel) || 10{{exp|2}} |- | Faradex XA1111 || ABS + fibres inox || 0,2 à 1 |- | Faradex XX6111 || PC + fibres inox || 0,2 à 1 |} Les polymères ne sont pas magnétisables. == Propriétés thermiques == === Résister à la chaleur === [[Fichier:Duree vie polymere temperature.svg|thumb|Durée de vie d'un polymère en fonction de la température]] Une des principales limitations à l’utilisation des polymères est la température. Le graphique ci-contre montre l'allure de la durée de vie d'un polymère en fonction de la température ; on voit qu'un polychlorure de vinyl (PVC) tient quelques minutes à {{Température|200|°C}} et peut être utilisé une centaine d'heures à {{température|100|°C}}. Un polymère thermostable, comme un polyimide aromatique ou un polyamide aromatique/aramide (Ultem, Kapton, Kermel), tient quelques minutes à {{température|500|°C}}. Les températures typiquement admises pour les principaux polymères sont indiquées dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Température maximale d’utilisation d'un polymère<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Trotignon, J. Verdu, A. Dobraczynski, M. Piperaud | titre = Précis de matières plastiques | éditeur = Afnor/Nathan | année = 1993 | isbn = 2-12-425021-2 | passage = 47 }}</ref>{{,}}<ref>[[w:Thermostabilité|Wikipédia : ''Thermostabilité'']]</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) || Polymère || T_max ({{abréviation|°C|degré Celsius}}) |- | PP stabilisé || 100 || PETP || 100 |- | ABS || 70 || PC || 110 |- | POM || 80 || PPO || 110 |- | PA 6 stabilisé || 100 || PSU || 150 |- | PA 11 || 50 || PI || 210 |- | PI aromatiques || 250-300 || aramides || 400 |- | PEEK || 300 || PTFE || 320 |} {{clr}} Le comportement mécanique à la température des polymères est très variable : * à basse température, en dessous d'une température dite de transition fragile-ductile TTFD, le polymère est fragile, cassant ; * au-dessus de la température de transition vitreuse T_v (ou T_g), le polymère devient caoutchouteux : les parties amorphes ramollissent ; * pour les thermoplastiques, au-dessus de la température de fusion T_f, le polymère est liquide ; * à haute température, le polymère (liquide ou solide) présente une dégradation thermique qui détériore ses propriétés ; il s'agit essentiellement d'une réaction d'oxydation par le dioxygène de l'air ou la vapeur d'eau, qui détruit les liaisons chimiques ; * au-delà d'une température critique, le polymère brûle ; certains polymères sont auto-extinguibles, en particulier les polyimides aromatiques, on a alors une carbonisation sans flamme. On a, en kelvins, 0,5 × T_f < T_v < 0,8 × T_f. Notons que : * les parties amorphes ne fondent pas de manière franche comme les métaux, on a une diminution progressive de la viscosité ; * les parties cristallisées fondent à la manière des métaux ; * les polymères tridimensionnels ne fondent pas, ils présentent une dégradation thermique à l'état solide. On a donc typiquement : * entre TTFD et T_v : état vitreux, température d’utilisation ; * entre T_v et T_f : état caoutchouteux, température de thermoformage ; * au-dessus de T_f, mais en-dessous de la température de dégradation thermique ou de combustion : état liquide, pour le moulage par injection ou l'extrusion. Le comportement au feu des polymères est en général assez mauvais : * la chaleur de la flamme provoque une « distillation » du polymère : les liaisons chimiques se cassent, ce qui produit des gaz inflammables ; * ces gaz alimentent la flamme. Par ailleurs, ils produisent souvent une quantité importante de fumée noire, des particules de suie. Une fumée blanche n'en est pas moins dangereuse : elle n'emporte pas de suie, mais contient des gaz. Ces fumées sont « COMIX » : * chaude : elle peut brûler les voies aériennes (trachée, poumons) ; * opaque : on peut se perdre dans un incendie ; * mobile : en emportant la chaleur, elle peut provoquer un incendie plus loin ; * inflammable : elle peut se mettre à brûler « en l'air » et provoquer un embrasement généralisé ''(flashover)'' ou une explosion ''(backdraft)'' ; * toxique. Enfin, sous l'effet de la chaleur, ils fondent en gouttant, ce qui provoque des brûlures et peut propager l'incendie. Ceci est résumé, pour les résines de base — n'ayant pas subi de traitement d'ignifugation ou de stabilisation —, dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = C. Corbet | titre = Mémotech — matières plastiques | éditeur = Casteilla | lieu = Paris | année = 1995 | isbn = 2-7135-1470-3 | passage = 8 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Inflammabilité || Quantité<br /> de fumée || Aptitude à fondre<br /> en gouttant || Notes |- | PVC || + à ++ || +++ || ++ || certains produits s'éteignent tous seuls |- | PS || +++ || +++ || ++ || gouttes enflammées |- | ABS || ++ || +++ || || |- | PA || + || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PMMA || ++ || || || |- | CA || ++ || + || +++ || fumée blanche, certains produits s'éteignent tous seuls |- | PE, PP || ++ || + || +++ || fumée blanche, gouttes enflammées |- | mousse PU || +++ || + || + || fumée blanche |- | PS expansé || +++ || +++ || +++ || gouttes enflammées |- | PF || || || || carbonise sans flamme |- | UF || + || || || très difficilement inflammable, s'éteint tout seul |} Ce tableau ne comporte que des polymères artificiels ou de synthèse. Les polymères intervenant aussi dans le génie civil, on peut regarder la stabilité au feu tel qu'évalué par le Centre scientifique et technique du bâtiment (CSTB) ; le comportement au feu est classé selon la norme norme NF P. 92.507 : * M0 : incombustible ; * M1 : non inflammable (se consume lentement, sans flamme) ; * M2 : difficilement inflammable ; * M3 : moyennement inflammable ; * M4 : facilement inflammable ; * M5 : très facilement inflammable. Cela donne accès à des comparaisons entre polymères synthétiques et naturels, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. {| class = "wikitable" |+ Comportement au feu<ref>{{ouvrage | auteurs = J.-P. Oliva | titre = L'isolation écologique — Conception, matériaux, mise en œuvre | éditeur = Terre vivante | lieu = Mens | année = 2008 | isbn = 978-2-904082-90-0 | passage = 47 à 92 }}</ref> |- ! scope = "column" | Polymère || Classement || Polymère || Classement |- | PS sans additif || M3 || liège expansé || M2 |- | PS avec additif || M1, M2 || laine de chanvre || M1 |- | PU sans additif || M3 || laine de lin || M3 |- | PU avec additif || M1, M2 || laine de coco || M1 |- | PE || M1 || laine de coton || M2, M3 |- | laine de bois || M2 || roseau || M3 |- | granulats de bois<br /> stabilisés au silicate de calcium || M1 || laine de mouton || M3 |- | laine de cellulose || M2 || || |} L'inflammabilité dépend de la forme de présentation : la cellulose compacte, comme une bûche de bois, présente peu de contact avec l'air donc s'enflamme difficilement et se consume lentement. Par contre, si le contact avec l'air est important, comme pour une feuille de papier, de la sciure ou de la laine de bois, il s'enflamme et se consume plus facilement. Quoi qu’il en soit, les polymères naturels sont en général plus stable au feu que des polymères synthétiques sans additif, à l'exception du polyéthylène et des polymères thermostables (polyimides aromatiques, aramides, PTFE) ; et surtout, ils dégagent une quantité limitée de fumée et pas de gaz toxiques en dehors du CO. === Conduire la chaleur ou isoler === Les polymères sont des isolants thermiques. De manière imagée : les chaînes polymères qui les composent sont souples, l'agitation thermique va donc se propager difficilement d'un bout à l'autre d'une pièce. {| class="wikitable" |+ Conductivité thermique de polymères !scope="column" | Substance !scope="column" | Conductivité thermique<br />λ (W⋅m^–1⋅K^–1) !scope="column" | Température T (°C) |- | Styrofoam <br />(polystyrène extrudé)<ref>{{lien web |url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html |titre=Conductivité thermique des matériaux et gaz courants |website=engineeringtoolbox.com}}.</ref> || 0,033 || 25 |- | Mousse de polyuréthane rigide (PUR) || 0,025 || 20 |- | Mousse phénolique || 0,018–0,025 || 20 |- | Polystyrène expansé (EPS) || 0,036 || 20 |- | Polyisocyanurate (PIR) || 0,023 || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Polymères naturels |- | Carton || 0,11 || 20 |- | Laine || 0,05 || 20 |- | Roseau (en panneau) || 0,056 || 20 |- | Ouate de cellulose || 0,038–0,042 || 20 |- | Paille (perpendiculairement aux fibres) || 0,052<ref name="RFCP">{{Lien web|langue=fr|auteur=Réseau Français de la Construction Paille|titre=Caractéristiques techniques|url=https://www.rfcp.fr/caracteristiques-techniques/|site=rfcp.fr|consulté le=16 mars 2023}}</ref> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Bois |- | Laine de bois || 0,036–0,042 || 20 |- | Liège || 0,038–0,042<ref name="Pérez">{{Ouvrage |auteur1=J. Ph. Pérez |auteur2=A. M. Romulus |titre=Thermodynamique, fondements et applications |éditeur=Masson |année= |passage=155 |isbn=}}</ref> || 20 |- | Aggloméré || 0,15<ref name="CRC Handbook">{{lien web |url=http://www.hbcpnetbase.com/ |titre=Handbook of Chemistry and Physics}}.</ref> || 20 |- | Chêne || 0,16<ref name="CRC Handbook"/> |- | Noyer ({{unité|0.65|g/cm|3}}) || 0,14<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- | Pin (parallèle aux fibres) || 0,36 || 20 |- | Oin (perpendiculaire aux fibres) || 0,15 || 20 |- | Contreplaqué || 0,11–0,15<ref name="CRC Handbook"/> || 20 |- ! scope="column" colspan="3" | Par comparaison |- | Air || 0,026 || 25 |- | Fer, fonte, acier || 16-80 || 20 |- | Cuivre<ref>{{ouvrage |prénom1=R. Byron |nom1=Bird |prénom2=Warren E. |nom2=Stewart |prénom3=Edwin N. |nom3=Lightfoot |titre=Transport Phenomena |année=2006 |éditeur=John Wiley & Sons |passage= 270-271 |lang=en}}.</ref> || 384 || 18 |} == Comportement mécanique == [[Fichier:Highperformance thermoplastics.svg|500px|thumb|Thermoplastiques à haute performance.<br />Légende : <ul> <li> axe vertical gauche : « prix et performance » ;</li> <li> axe vertical droite : « volume produit » ;</li> <li> note en bas, partie gauche : « partiellement cristallisé : opaque, visqueux, résistant aux produits chimiques » ;</li> <li> note en bas, partie droite : « amorphe : opaque, dur, réactif » ;</li> <li> annotations à gauche de la pyramide, de haut en bas : « thermoplastique à haute résistance », « thermoplastique technique », « thermoplastique standard ». </ul>]] Le sujet sera approfondi dans le [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques|chapitre suivant]]. Nous donnons toutefois quelques éléments généraux ici. === Classification === On considère habituellement trois familles de polymères selon leurs propriétés mécaniques : * les thermoplastiques : avec l'élévation de température, le polymère passe à l'état « fondu » (état fluide ou déformable), ce qui permet de le mettre en forme ; il devient rigide en se refroidissant, mais repasse à l'état fondu si on le réchauffe ;<br />exemples : ABS, CA, PAN, PE, PEEK, PET, PMMA, POM, PP, PS, PTFE, PVC, SAN ; * les thermodurcissables : à la fabrication, le polymère devient visqueux avec l'élévation de température, ce qui permet sa mise en forme, puis devient irréversiblement rigide en raison de réactions chimiques ; il reste rigide même si la température s'élève à nouveau ;<br /> exemple : EP, PF, certains PI, UP ; * les élastomères : le polymère peut s'allonger énormément de manière élastique, il s'agit du caoutchouc naturel (sigle NR) et des caoutchoucs synthétiques ; il existe des élastomères thermoplastiques (TPE) (la plupart) et des élastomères thermodurcissables ;<br /> exemples : EPDM, NBR, IR. === Courbes de traction === [[Fichier:Courbe traction polymeres.svg|thumb|Courbes de traction d'un polymère]] On a quatre types de comportement mécanique, dépendant : * de la nature chimique du polymère (rigidité intrinsèque des liaisons pivot, liaisons possibles entre chaînes) ; * de la longueur des chaînes ; * de la ramification des chaînes ; * des liaisons entre chaînes (forces de {{pc|van der Waals}}, liaisons hydrogène, pontages) ; * de la cristallinité (et donc de la vitesse de refroidissement lors de la fabrication de la pièce) ; * de la température et de la vitesse de traction. Ces types sont (voir figure ci-contre) : * I : fragile ; * II : viscoélastique avec seuil d'écoulement σ_e ; * III : viscoélastique sans seuil d'écoulement ; * IV : viscoplastique. Selon la température et la vitesse de déformation, un même polymère peut donc être fragile, viscoélastique ou viscoplastique. Concernant le comportement sous de faibles contraintes, on peut l'assimiler à un comportement élastique et définir un pseudo-module de Young E comme pour les métaux, mais cela ne concerne qu'une faible portion de la courbe de traction. Contrairement aux métaux, le pseudo-module de Young augmente lorsque la température diminue. En effet, la résistance à l'étirement est essentiellement lié à l'agitation des chaînes moléculaires : * à basse température, les chaînes sont peu agitées et son faciles à « déplier » ; * à l'inverse, à haute température, les chaînes sont très agitées et ont donc tendance à « rester emmêlées ». {{clr}} === Cloquage interne === Une pièce en polymères, en particulier élastomère, soumise à des cycles de compression-décompression peut présenter un phénomène de cloquage interne, c'est-à-dire la formation de pores microscopiques. === Fatigue === Les polymères sont sensibles à la fatigue — rupture sous de faibles contraintes —, mais le mécanisme est différent de celui des métaux. == Compatibilité chimique == Les polymères sont réputés stables chimiquement ; ils servent à la conservation des aliments (pour ne pas les altérer), de nombreux produits chimiques, sont utilisés pour des implants dans le corps humain (prothèses), … Pour autant, les polymères subissent des agressions chimiques de la part de l'environnement et se dégradent, se corrodent. Il est important de vérifier la compatibilité du polymère avec son environnement. Un des cas typiques est celui des élastomère (joints et flexibles) pour les circuits d'huile sous pression (hydraulique : pompes, turbines, vérin, etc.) et le transport de produits chimiques. {| class = "wikitable" |+ Aptitude des élastomères à résister chimiquement<ref name="fanchon">{{ouvrage | auteur = J.-L. Fanchon | titre = Guide des sciences et technologies industrielles | éditeur = Afnor, Nathan | année = 2001 | isbn = 2-09-178761-2 | passage = 416 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 275 }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage | titre = Compatibilité des élastomères avec les fluides | éditeur = Esso | année = 1988 }}</ref> ! scope = "col" rowspan = "3" | Matériau ! scope = "col" rowspan = "3" | Abré-<br />viation ! scope = "col" rowspan = "3" | Noms<br /> commer-<br />ciaux ! scope = "col" colspan = "12" | Fluide |- ! scope = "col" rowspan = "2" | air,<br /> O₂,<br /> ozone ! scope = "col" rowspan = "2" | huiles<br /> minérales ! scope = "col" rowspan = "2" | esters<br /> phosphates ! scope = "col" rowspan = "2" | diesters ! scope = "col" rowspan = "2" | alkyls<br /> benzènes/<br />toluènes ! scope = "col" rowspan = "2" | poly-<br />glycols ! scope = "col" rowspan = "2" | acides ! scope = "col" rowspan = "2" | bases ! scope = "col" rowspan = "2" | carburants ! scope = "col" rowspan = "2" | eau ! scope = "col" colspan = "2" | réfrigérant |- ! scope = "col" | ammoniac ! scope = "col" | fréons |- | Caoutchouc<br /> naturel || IR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Nitrile<br /> (acrylonitrile<br /> butadiène) || NBR || Perbunan,<br /> Hycar,<br /> Europrène | 0 || ++ || - || -- || -- || + || 0 à + || + || + à ++ || 0 à + || + || + |- | Fluoro-<br />carbone || FPM || Technoflon,<br /> Viton,<br /> Fluorel | ++ || ++ || + || ++ || ++ || + || ++ || ++ || ++ || ++ || -- || 0 |- | Silicone || VMQ || Silopren,<br /> Silastic | ++ || - à + || + || + || 0 || 0 || -- à 0 || || 0 à ++ || -- à 0 || ++ || -- |- | Poly-<br />uréthane || AU, EU || Vulkollan,<br /> Adiprène,<br /> Urepan | - || + à ++ || -- || - || 0 || 0 || -- à 0 || - || 0 à ++ || -- à - || - || - |- | Éthylène-<br />propylène-<br />diène || EPDM || Buna, Keltan<br /> Dutral, Nordel | ++ || -- à 0 || ++ || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || + à ++ || + || + |- | Poly-<br />chloroprène || CR || Néoprène,<br /> Bayprène,<br /> Butaclor | + || + à ++ || - || - || 0 || + || 0 à + || ++ || 0 à ++ || 0 à + || ++ || ++ |- | Caoutchouc<br /> butyle || IIR || Butyl,<br /> Polysar | + || -- à 0 || + || -- || -- || + || 0 à ++ || ++ || 0 || 0 à ++ || + || + |- | Caoutchouc<br /> de styrène-<br />butadiène || SBR || Buna S | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Poly-<br />butadiène || BR || | || -- || - || -- || -- || + || || || || + || + || + |- | Polyéthylène<br />chlorosulfoné || CSM || Hypalon | || 0 || - || - || - || + || || || || + || + || + |- | Polymère<br />d'épichlorhydrine || CO,<br />ECO || | || 0 || -- || + || + || 0 || || || || 0 || -- || - |- | Pol-<br />acrylate || ACM || | || + || - || - || 0 || 0 || || || || - || 0 || 0 |- | Polysulfure<br />d'éthylène || T || Thiogomme,<br /> Thiokol,<br />Thiolatex | || ++ || 0 || - || 0 || - || || || || - || -- || 0 |- | Fluoro-<br />silicones || FVMQ || | || ++ || - || ++ || + || - || || || || ++ || ++|| 0 |- | colspan="15" | Légende : -- non recommandé, - passable, 0 moyen, + bon, ++ excellent |} Par application<ref name="fanchon" />{{,}}<ref>{{ouvrage | auteur = A. Chevalier | titre = Guide du dessinateur industriel | éditeur = Hachette | année = 1998 | isbn = 2-01-16-7583-9 | passage = 214 }}</ref> : * eau : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * eau chaude, vapeur d'eau : « caoutchouc butyle » (IIR) * air comprimé : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * fluides hydrauliques : butadiène-acrylonitrile (NBR), éthylène-propylène-diène (EPDM) ; * oxygène (O₂) : fluorocarbone (FPM) ; * alimentaire : caoutchouc silicone (VMQ) ; * carburants : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * huile minérale : butadiène-acrylonitrile (NBR), polychloroprène (CR) ; * eau additionnée d'huile soluble : butadiène-acrylonitrile (NBR) ; * solvants : fluorocarbone (FPM) ; * liquide de frein à base de glycol (ATE-SL) : polyéthylène chlorosulfoné (CSM) ; * fluides hydrauliques ininflammables, huiles à haute température, PCB (Pydraul) : élastomères fluorés (FPM), polychloroprène (CR) ; * hydrocarbures non aromatiques : NBR (Perbunan A 77), élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * chlore : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * alcools non méthyliques : élastomères fluorés (FPM, Viton B) ; * réacteurs nucléaires : élastomères fluorés (FPM) == Vieillissement == Les deux principaux facteurs de dégradation d'un polymère, outre la température déjà évoquée, sont l'eau (liquide ou vapeur) et les rayons ultraviolets (UV). Au cours du temps, les molécules d'eau se glissent entre les chaînes polymères. Or, l'eau affaiblit les liaisons faibles ; il se produit d’une part un gonflement du polymère, et d’autre part un assouplissement, une perte des propriétés mécaniques. Tous les solvants — en particulier les hydrocarbures — produisent ces phénomènes. Par ailleurs, certains polymères, comme les polyesters, EP, PA, PI ou PU, peuvent réagir avec l'eau. Cette destruction par l'eau, ou hydrolyse, fragilise le polymère. Les UV, quant à eux, peuvent amorcer des réactions avec le dioxygène de l'air ; ces réactions d'oxydation coupent les chaînes polymères. Cela produit une coloration, par exemple un jaunissement, et/ou une dégradation de la résistance à la rupture : * polymères très stables aux UV : polymères fluorés ; * polymères stables aux UV : PMMA, polyesters, PC ; * polymères dégradés par les UV : PA, PE, PS ; * polymères très sensibles aux UV : PP, PVC. L'ajout de pigments peut absorber les UV et donc réduire le vieillissement ; c’est par exemple le cas du noir de carbone dans les pneumatiques. == Applications == {|class="wikitable" |+ Polymères pour la fabrication de contenants |- ! scope="col" | Résine ! scope="col" | Applications courantes ! scope="col" | Propriétés importantes |- | PET || bouteille de boisson, barquette de nourriture | transparent, résistant, bonnes propriétés barrière |- | HDPE || bouteille de lait, de produits ménagers | opaque, résistance chimique, durable |- | PP || bouteilles remplies à chaud, plaquettes de médicaments | résistant à la chaleur, léger, souple |- | LDPE|| bouteille compressible, emballage souple | mou, souple, résistance chimique |} == Notes == <references /> == Voir aussi == * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/de-cause-a-effets-le-magazine-de-l-environnement/une-planete-asphyxiee-de-plastique-quelles-solutions-5340104 |auteur=Aurélie Luneau et coll. |titre=Une planète asphyxiée de plastique : quelles solutions ? |site=France Culture |date=2025-07-12 |consulté le=2025-10-17}} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Applications des céramiques/]] | suivant = [[../Les polymères - Structure et propriétés mécaniques/]] }} qfs3poem4g6pfrnn7mqpnw4828m34re 104 67660 986405 986292 2026-09-10T10:30:16Z Guillaume FOUCART 39841 /* Lien entre la F-quantité d'une partie de \R^n, relative à un repère orthonormé de \R^n et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de \R^n, relative à ce repère orthonormé de \R^n */ 986405 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour P_{3}]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} fcqoov37nu8j3ym769cp3rtgepk1s5t 986411 986405 2026-09-10T11:21:27Z Guillaume FOUCART 39841 /* Remarque */ 986411 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour P_{3}]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. Et alors : <math>{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 3mpx8sss2pebb6lm2hnoc9uusw2du1v 986412 986411 2026-09-10T11:33:07Z Guillaume FOUCART 39841 /* Définition d'une chaîne exhaustive de parties de \R^n (resp. \R^n, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble \emptyset à l'ensemble \R^n (resp. à l'ensemble \R^n, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur \R^n, pour n \in \N^* */ 986412 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour P_{3}]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. Et alors : <math>{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, Alors : <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. et <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} kvhp81xh3p75ajp525f4vratfahyojz 0 73260 986389 982921 2026-09-09T14:37:39Z ~2026-48808-67 80962 intro correcte sans espace partout 986389 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 30 | niveau = 14 | précédent = [[../Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif/]] | suivant = }} <center>Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.</center> == Notion de système d'équations différentielles couplées == {{Définition|titre=Système d'équations différentielles couplées|contenu={{Al|5}}Les équations d'un système de <math>\;n\;</math> équations différentielles à <math>\;n\;</math> fonctions indépendantes d'une même variable <math>\;\big[</math>avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\backslash{\left\lbrace 1 \right\rbrace}\big]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Les équations }}sont dites « couplées » lorsqu'aucune des <math>\;n\;</math> équations différentielles ne peut être résolue indépendamment des autres<ref name="couplage d'un système d'équations différentielles"> C.-à-d. aucune des <math>\;n\;</math> équations différentielles ne peut être résolue sans connaître les solutions des <math>\;n - 1\;</math> autres équations différentielles.</ref>.}} {{Al|5}}La méthode de résolution du système des équations différentielles « couplées » aux fonctions indépendantes de la même variable consiste à réaliser un « <u>découplage</u> » c'est-à-dire trouver un système équivalent des autres équations différentielles à autres fonctions indépendantes de la même variable tel que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable<ref> Il n'y a pas de méthode standard de « découplage », ce dernier dépendant du type d'équations différentielles « couplées » présentes dans le système ; <br>{{Al|3}}aussi va-t-on simplement exposer des exemples de système d'équations différentielles couplées et présenter un « découplage » adapté aux équations différentielles du système <math>\;\big[</math>le découplage, quand il est possible, pouvant d'ailleurs ne pas être unique<math>\big]</math>.</ref> ; il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres c'est-à-dire de trouver les nouvelles fonctions de la même variable puis d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées » c'est-à-dire de trouver les fonctions d'origine de la même variable. == Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant == === Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable === {{Al|5}}Soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) = e_1\;f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + c_2\;f_2(x) = e_2\;f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles"> Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que ses dérivées dans un 1^er membre, l'autre fonction <math>\;\big(</math>seule, sans ses dérivées<math>\big)\;</math> apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système"> Pour que chaque équation différentielle soit qualifiée de « linéaire », il faut qu'elle le soit relativement à chaque fonction, celle apparaissant dans le 1^er membre et celle apparaissant dans le 2^ème c.-à-d. dans l'« excitation ».</ref> avec les quatre constantes <math>\;\left( c_1\,,\,c_2\,,\,e_1\,,\,e_2 \right) \in \left[ \mathbb{R}^{*} \right]^4\;</math> connues et les deux fonctions réelles <math>\;\left\lbrace f_1\,,\, f_2 \right\rbrace\;</math> de la variable réelle <math>\;x\;</math> à déterminer ; <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit }}on vérifie aisément le couplage des équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> car <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage }}<math>\bullet\;</math>l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;f_1(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle }}<math>\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> a un 2^nd membre « excitation » dépendant de <math>\;f_2(x)</math>, inconnue en absence de <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle <math>\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> a un 2^nd membre « excitation » }}résolution de la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avant la 2^ème <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage }}<math>\bullet\;</math>l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;f_2(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle }}<math>\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> a un 2^nd membre « excitation » dépendant de <math>\;f_1(x)</math>, inconnue en absence de <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle <math>\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> a un 2^nd membre « excitation » }}résolution de la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avant la 1^ère <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> d'où <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément }}le couplage des deux équations différentielles. === Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable === ==== Généralités ==== {{Al|5}}Les deux équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> étant linéaires<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" />, il semble possible de les découpler par C.L<ref name="C.L."> Combinaison(s) Linéaire(s).</ref>. <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et définition associée de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible de les découpler }}telle que <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> ne dépende que de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible de les découpler }}ceci nécessitant un choix de <math>\;\left( \alpha,\,\beta \right)\;</math> pour être réalisé <math>\;\ldots</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible }}Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L<ref name="C.L." />. distinctes des équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible }}un système d'équations différentielles découplées indépendantes en <math>\;\left\lbrace F_{\alpha_1\,,\,\beta_1}(x)\,,\,F_{\alpha_2\,,\,\beta_2}(x) \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible un système }}équivalent au système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;\ldots</math> ==== Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire ==== {{Al|5}}Formant <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \left[ \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) \right] + \beta \left[ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + c_2\;f_2(x) \right] = \alpha \left[ e_1\;f_2(x) \right] + \beta \left[ e_2\;f_1(x) \right]\;</math> dans laquelle la somme des dérivées 2^ndes du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 \left[ \alpha\; f_1 + \beta\;f_2 \right]}{dx^2}(x) + c_1\;\alpha\; f_1(x) + c_2\;\beta\; f_2(x) = e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta}\; \beta\; f_2(x) + e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha}\; \alpha\;f_1(x)\;</math> si <math>\;\left( \alpha\,,\, \beta \right)\;</math> est <math>\;\neq \left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> soit, avec <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx^2}(x) = \left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \beta\; f_2(x)</math>, la condition pour que le 2^nd membre s'écrive en fonction de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)\;</math> étant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx^2}(x) = \left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \beta\; f_2(x)}</math>, la condition }}<math>\left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] = \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + \left( c_1 - c_2 \right)\, \dfrac{\alpha}{\beta} - e_2 = 0\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx^2}(x) = \left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \beta\; f_2(x)}</math>, la condition }}<math>\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> solution de l'équation algébrique du 2^ème degré <math>\;e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + \left( c_1 - c_2 \right)\, \dfrac{\alpha}{\beta} - e_2 = 0\;</math><ref> La valeur <math>\;\alpha = 0\;</math> avait été interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\beta}{\alpha}</math>, si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait <math>\;e_2 = 0\;</math> mais <math>\;e_2 \neq 0</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur <math>\;\beta = 0\;</math> interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait <math>\;e_1 = 0\;</math> pour avoir une forme indéterminée mais <math>\;e_1 \neq 0</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="C.S. pour que le discriminant soit positif"> L'hypothèse où <math>\;e_1\;</math> et <math>\;e_2\;</math> sont de même signe est suffisante pour que le discriminant <math>\;\Delta\;</math> soit <math>\;> 0</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes }}ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans <math>\;\mathbb{R}</math> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>avec <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0\;</math><ref name="C.S. pour que le discriminant soit positif" />, nous avons deux solutions réelles distinctes <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}</math>, pour chacune, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}le 2^nd membre de <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> s'écrit <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]\;</math><ref> On rappelle que les solutions <math>\;\left\lbrace \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\,,\, \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} \right\rbrace\;</math> suivent l'équation initiale <math>\left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] = \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]\;</math> permettant une factorisation par <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]</math>.</ref> <math>\;= \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] F_{\alpha\,,\,\beta}(x)\;</math> d'où : <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>en posant <math>\;k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]\;</math> et <math>\;F_1(x) = F_{\alpha_1\,,\,\beta_1}(x) = \alpha_1\; f_1(x) + \beta_1\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près"> À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}</math> et non le couple <math>\;\left( \alpha_1\,,\, \beta_1\right)\;</math> <math>\bigg[</math>respectivement <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}</math> et non le couple <math>\;\left( \alpha_2\,,\, \beta_2\right)\bigg]</math>, il est possible de choisir <math>\;\beta_1 = 1\;</math> et <math>\;\alpha_1 = \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> ou <math>\;\beta_1 = 2\;</math> et <math>\;\alpha_1 = 2\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> ou <math>\;\ldots</math> <math>\;\bigg[</math>un choix identique pour <math>\;\alpha_2\;</math> et <math>\;\beta_2\;</math> pouvant être fait à partir de <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\bigg]\;\ldots</math></ref> comme nouvelle fonction, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]}\;</math> et }}<math>\;F_1(x)\;</math> solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_1(x)}\;</math> solution de }}du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_1(x)}\;</math> solution de }}indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) + k_1\;F_1(x) = 0</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>en posant <math>\;k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]\;</math> et <math>\;F_2(x) = F_{\alpha_2\,,\,\beta_2}(x) = \alpha_2\; f_1(x) + \beta_2\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" /> comme nouvelle fonction, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]}\;</math> et }}<math>\;F_2(x)\;</math> solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_2(x)}\;</math> solution de }}du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_2(x)}\;</math> solution de }}indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + k_2\;F_2(x) = 0</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>soit la réalisation du découplage }}selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) + k_1\;F_1(x) = 0\\ \dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + k_2\;F_2(x) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>avec <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul"> L'hypothèse où <math>\;e_1\;</math> et <math>\;e_2\;</math> sont de signe contraire est nécessaire <math>\;\big(</math>mais non suffisante<math>\big)\;</math> pour que le discriminant <math>\;\Delta\;</math> soit <math>\;\leqslant 0</math>.</ref>, nous avons une solution réelle double <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} = \dfrac{c_2 - c_1}{2\;e_1} = \dfrac{2\;e_2}{c_1 - c_2}</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, }}le 2^nd membre de <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> s'écrit <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]\;</math><ref> On rappelle que la solution double <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> suit l'équation initiale <math>\left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] = \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]\;</math> permettant une factorisation par <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]</math>.</ref> <math>\;= \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] F_{\alpha\,,\,\beta}(x)\;</math> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, le 2^nd membre de <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> s'écrit <math>\;\color{transparent}{\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]}\;</math> }}<math>\;= \left[ e_1\;\dfrac{c_2 - c_1}{2\;e_1} - c_2 \right] F_{\alpha\,,\,\beta}(x)</math> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, le 2^nd membre de <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> s'écrit <math>\;\color{transparent}{\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]}\;</math> }}<math>\;= -\dfrac{c_1 + c_2}{2}\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x)</math> d'où : <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>en posant <math>\;k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}\;</math> et <math>\;F_d(x) = F_{\alpha_d\,,\,\beta_d}(x) = \alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis"> À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}</math> et non le couple <math>\;\left( \alpha_d\,,\, \beta_d\right)</math>, il est possible de choisir <math>\;\beta_d = 1\;</math> et <math>\;\alpha_d = \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> ou <math>\;\beta_d = 2\;</math> et <math>\;\alpha_d = 2\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> ou <math>\;\ldots</math></ref> comme nouvelle fonction, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}}\;</math> et }}<math>\;F_d(x)\;</math> solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_d(x)}\;</math> solution de }}homogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_d(x)}\;</math> solution de homogène, sans terme du 1^er ordre }}<math>\;\dfrac{d^2 F_d}{dx^2}(x) + k_d\;F_d(x) = 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison entre les deux solutions cherchées <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison }}<math>\;\alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x) = F_d(x)\;</math><ref> On rappelle que <math>\;F_d(x)\;</math> est définie à une constante multiplicative près, voir note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-définie_à_une_constante_multiplicative_près_-_bis-12|¹²]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}nous constatons que le découplage du système initial d'équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> par C.L<ref name="C.L." />. n'aboutit pas<ref> Pour que le découplage par C.L. soit possible il aurait fallu une 2^ème équation différentielle indépendante mais la méthode par C.L. n'en fournit qu'une. <br>{{Al|3}}Toutefois cela ne signifie pas qu'un découplage est impossible mais qu'il ne peut être fait par C.L. <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>avec <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul" />, nous n'avons pas de solutions réelles <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, }}un découplage par C.L<ref name="C.L." />. dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> n'est pas possible, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, }}il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système <math>\ldots</math> === Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif === {{Al|5}}<u>Cas</u><math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0\;</math><ref name="C.S. pour que le discriminant soit positif" /> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> étant équivalent au système d'équations différentielles découplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) + k_1\;F_1(x) = 0\\ \dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + k_2\;F_2(x) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent }}avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]\\ k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> où <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\;</math> sont les deux <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent }}solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2^ème degré <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent solutions réelles distinctes de }}«<math>\;e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + \left( c_1 - c_2 \right)\, \dfrac{\alpha}{\beta} - e_2 = 0\;</math>» et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent avec }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} F_1(x) = F_{\alpha_1\,,\,\beta_1}(x) = \alpha_1\; f_1(x) + \beta_1\; f_2(x)\\ F_2(x) = F_{\alpha_2\,,\,\beta_2}(x) = \alpha_2\; f_1(x) + \beta_2\; f_2(x)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />{{,}}<ref name="mise en pratique du découplage par C.L."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Mise_en_pratique_du_découplage_par_combinaison_linéaire|mise en pratique du découplage par combinaison linéaire]] » plus haut dans c e chapitre.</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante<ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_deuxième_ordre_homogène_sans_terme_du_premier_ordre|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> nous permet d'obtenir respectivement <math>\;F_1(x)\;</math> et <math>\;F_2(x)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> avec, <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante }}pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_1\,,\,B_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( A_2\,,\,B_2 \right)</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}il reste alors à revenir aux fonctions initiales <math>\;f_1(x)\;</math> et <math>\;f_2(x)\;</math> en résolvant <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \alpha_1\; f_1(x) + \beta_1\; f_2(x) = F_1(x)\;\;\left( \mathfrak{a}_1 \right)\\ \alpha_2\; f_1(x) + \beta_2\; f_2(x) = F_2(x)\;\;\left( \mathfrak{a}_2 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" /> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}<math>\bullet\;</math>en formant <math>\;\beta_2\,\left( \mathfrak{a}_1 \right) - \beta_1\,\left( \mathfrak{a}_2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_1(x) = \dfrac{\beta_2\;F_1(x) - \beta_1\;F_2(x)}{\alpha_1\;\beta_2 - \alpha_2\;\beta_1} = \dfrac{\dfrac{F_1(x)}{\beta_1} - \dfrac{F_2(x)}{\beta_2}}{\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}}\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />{{,}}<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration"> En fait le facteur multiplicatif initialement introduit dans la définition des fonctions <math>\;F_1(x)\;</math> et <math>\;F_2(x)\;</math> à partir des fonctions initiales <math>\;f_1(x)\;</math> et <math>\;f_2(x)\;</math> peut être englobé dans les constantes d'intégration <math>\;\left( A_1\,,\,B_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( A_2\,,\,B_2 \right)\;\ldots</math></ref> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}<math>\bullet\;</math>en formant <math>\;\alpha_2\,\left( \mathfrak{a}_1 \right) - \alpha_1\,\left( \mathfrak{a}_2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_2(x) = -\dfrac{\alpha_2\;F_1(x) - \alpha_1\;F_2(x)}{\alpha_1\;\beta_2 - \alpha_2\;\beta_1} = -\dfrac{ \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\,\dfrac{F_1(x)}{\beta_1} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\,\dfrac{F_2(x)}{\beta_2}}{\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}}\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />{{,}}<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration" />. {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}<u>Exemple</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = 3\;f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 3\;f_2(x) = f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles" /> c'est-à-dire <math>\;c_1 = 1</math>, <math>\;c_2 = 3</math>, <math>\;e_1 = 3\;</math> et <math>\;e_2 = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 16 > 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : }}les deux solutions réelles distinctes <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\;</math> de l'équation algébrique du 2^ème degré «<math>\;3\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} - 2\; \dfrac{\alpha}{\beta} - 1 = 0\;</math>» s'écrivant <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : les deux solutions réelles distinctes }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} = \dfrac{2}{2 \times 3} + \dfrac{\sqrt{16}}{2 \times 3} = 1\\ \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} = \dfrac{2}{2 \times 3} - \dfrac{\sqrt{16}}{2 \times 3} = -\dfrac{1}{3}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l} k_1 \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ 1 \times 3 - 3 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 0 \\ k_2 \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ -\dfrac{1}{3} \times 3 - 3 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 4\end{array}\right\rbrace\;</math> soit, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : les deux solutions réelles distinctes }}avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}\left( \alpha_1\,,\,\beta_1 \right) = \left( 1\,,\, 1 \right)\\ \left( \alpha_2\,,\,\beta_2 \right) = \left( -1\,,\, 3 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} F_1(x) = f_1(x) + f_2(x)\\ F_2(x) = -f_1(x) + 3\; f_2(x)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />, on aboutit au découplage suivant <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) \!\!&=&\!\! 0\\ \dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + 4\;F_2(x) \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} F_1(x) = A_1\;x + B_1\\ F_2(x) = A_2\;\cos(2\;x) + B_2\;\sin(2\;x)\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A_1\,,\,B_1 \\ A_2\,,\,B_2 \end{array} \right\rbrace\;</math> constantes réelles arbitraires<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration" /> d'où {{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l c l c l}f_1(x) \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{3\;F_1(x) - F_2(x)}{4} \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{3\;A_1\;x + 3\;B_1 - A_2\;\cos(2\;x) - B_2\;\sin(2\;x)}{4}\\ f_2(x) \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{F_1(x) + F_2(x)}{4} \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{A_1\;x + B_1 + A_2\;\cos(2\;x) + B_2\;\sin(2\;x)}{4}\end{array}\right\rbrace</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A_1\,,\,B_1 \\ A_2\,,\,B_2 \end{array} \right\rbrace\;</math> constantes réelles arbitraires<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration" />. === Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué === {{Al|5}}<u>Cas</u><math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul" /> : le découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> n'aboutissant pas, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : le découplage }}la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_d}{dx^2}(x) + k_d\;F_d(x) = 0\;</math> avec <math>\;k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante }}<math>\;F_d(x) = F_{\alpha_d\,,\,\beta_d}(x) = \alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" /> dans laquelle <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante }}<math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} = \dfrac{c_2 - c_1}{2\;e_1} = \dfrac{2\;e_2}{c_1 - c_2}\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" />{{,}}<ref name="mise en pratique du découplage par C.L." /> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante<ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre" /> nous permet d'obtenir <math>\;F_d(x)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> avec <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{F_d(x)}\;</math> }}deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)</math>, c'est-à-dire <br />{{Al|16}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir }}la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées <br />{{Al|16}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir la relation de liaison }}<math>\alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x) = F_d(x)\;</math> dont <br />{{Al|16}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir }}on peut tirer <math>\;f_2(x)\;</math> en fonction de <math>\;F_d(x)\;</math> et <math>\;f_1(x)\;</math> selon <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir }}<math>\;f_2(x) = \dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;f_1(x)\;</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}on reporte alors l'expression de <math>\;f_2(x)\;</math> dans l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) = e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;f_1(x)\;</math><ref name="découplage par substitution"> Pour achever le découplage du système d'équations différentielles on procède par substitution à partir de la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées <math>\;\ldots</math></ref> ou <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : on reporte alors l'expression de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> dans l'équation différentielle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) = e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - \dfrac{c_2 - c_1}{2}\;f_1(x)\;</math> soit finalement <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : on reporte alors l'expression de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> dans l'équation différentielle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_2 + c_1}{2}\;f_1(x) = e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d}</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;f_1(x)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> avec deux nouvelles <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> }}constantes réelles arbitraires <math>\;\left( {A'}_1\,,\,{B'}_1 \right)\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> }}une solution particulière<ref name="qualificatif forcé inadapté"> Comme l'excitation de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène est <math>\;\propto\;</math> à la solution générale de la 1^ère équation différentielle découplée homogène et que cette dernière dépend de deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)</math>, il semble malvenu de qualifier la solution particulière de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène de « solution forcée », cette appellation nécessitant que la solution particulière soit cherchée de même forme que l'excitation, la forme de cette dernière n'étant pas fixée de façon unique car dépendant des deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)</math>.</ref> associée à l'excitation <br />{{Al|14}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> une solution particulière associée }}<math>\;e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d}\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_de_l'échec_de_la_méthode_de_recherche_de_la_solution_forcée_sinusoïdale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale,_le_polynôme_caractéristique_s'annulant_pour_la_pulsation_(spatiale)_envisagée|cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}nous en déduisons alors <math>\;f_2(x)\;</math> par report de <math>\;f_1(x)\;</math> dans <math>\;f_2(x) = \dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;f_1(x)\;\ldots</math> {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}<u>Exemple</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 3\;f_2(x) = -f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles" /> c'est-à-dire <math>\;c_1 = 1</math>, <math>\;c_2 = 3</math>, <math>\;e_1 = 1\;</math> et <math>\;e_2 = -1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la solution réelle double <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> de l'équation algébrique du 2^ème degré «<math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} - 2\; \dfrac{\alpha}{\beta} + 1 = 0\;</math>» s'écrivant <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}<math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;k_d = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} - c_2 \right] = -\left[ 1 \times 1 - 3 \right] = 2\;</math><ref> On pouvait aussi utiliser <math>\;k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2</math>.</ref> soit, avec <math>\;\left( \alpha_d\,,\,\beta_d \right) = \left( 1\,,\, 1 \right)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}<math>\;F_d(x) = f_1(x) + f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" />, solution de l'équation différentielle découplée indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_d}{dx^2}(x) + 2\;F_d(x) = 0\;</math> d'où <br />{{Al|14}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double <math>\;\color{transparent}{F_d(x) = f_1(x) + f_2(x)}\;</math>, }}<math>\;F_d(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre" />, <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)\;</math> constantes réelles arbitraires, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}soit, la relation de liaison <math>\;f_1(x) + f_2(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)</math>, <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)\;</math> constantes réelles arbitraires ; <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}de cette relation on tire <math>\;f_2(x)\;</math> en fonction de <math>\;f_1(x)\;</math> selon <math>\;f_2(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x) - f_1(x)\;</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}que l'on reporte dans l'équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> pour obtenir un découplage par substitution d'où <br />{{Al|12}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}la 2^ème équation différentielle découplée indépendante <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x) - f_1(x)\;</math> ou encore <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;f_1(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;\;\left( \mathfrak{1}'' \right)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er avec pulsation de l'excitation égale à la pulsation propre"> La pulsation de l'excitation étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme <math>\;f_{1,\,\text{part}}(x) = A\;x\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B\;x\;\sin(\sqrt{2}\;x)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_de_l'échec_de_la_méthode_de_recherche_de_la_solution_forcée_sinusoïdale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale,_le_polynôme_caractéristique_s'annulant_pour_la_pulsation_(spatiale)_envisagée|cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}solution particulière de <math>\;\left( \mathfrak{1}'' \right)</math> : <math>\;f_{1,\,\text{part}}(x) = A\;x\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B\;x\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er avec pulsation de l'excitation égale à la pulsation propre" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;\dfrac{d f_{1,\,\text{part}}}{dx}(x) = A\;\cos(\sqrt{2}\;x) - \sqrt{2}\;A\;x\;\sin(\sqrt{2}\;x) + B\;\sin(\sqrt{2}\;x) + \sqrt{2}\;B\;x\;\cos(\sqrt{2}\;x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{part}}}{dx^2}(x) = -2\,\sqrt{2}\,A\,\sin(\sqrt{2}\,x) - (\sqrt{2})^2\,A\,x\,\cos(\sqrt{2}\,x) + 2\,\sqrt{2}\,B\,\cos(\sqrt{2}\,x) - (\sqrt{2})^2\,B\,x\,\sin(\sqrt{2}\,x)</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{part}}}{dx^2}(x) + 2\;f_{1,\,\text{part}}(x) = - 2\;\sqrt{2}\;A\;\sin(\sqrt{2}\;x) + 2\;\sqrt{2}\;B\;\cos(\sqrt{2}\;x)\;</math> après simplification à identifier à <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{part}}}{dx^2}(x) + 2\;f_{1,\,\text{part}}(x) =}</math> }}<math>\;A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} B = \dfrac{A_d}{2\;\sqrt{2}}\\ A = -\dfrac{B_d}{2\;\sqrt{2}}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit finalement <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;f_{1,\,\text{part}}(x) = -\dfrac{B_d\;x}{2\;\sqrt{2}}\;\cos(\sqrt{2}\;x) + \dfrac{A_d\;x}{2\;\sqrt{2}}\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math> et par suite, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la solution libre étant <math>\;f_{1,\,l}(x) = A_1\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_1\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre" />, on en déduit <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la solution de l'équation <math>\;\left( \mathfrak{1}'' \right)</math>, <math>\;f_1(x) = \left( A_1 - \dfrac{B_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \cos(\sqrt{2}\;x) + \left( B_1 + \dfrac{A_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er" />, <math>\;\left( A_1\,,\, B_1 \right)\;</math> constantes réelles arbitraires ; <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}on en déduit <math>\;f_2(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x) - f_1(x) = \left( A_d - A_1 + \dfrac{B_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \cos(\sqrt{2}\;x) + \left( B_d - B_1 - \dfrac{A_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \sin(\sqrt{2}\;x)</math>. === Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué === {{Al|5}}<u>Cas</u><math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul" /> : le découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> étant un échec complet<ref name="mise en pratique du découplage par C.L." />, <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0}\;</math> : le découplage par C.L. réelle }}nous n'obtenons aucune équation différentielle découplée indépendante par C.L<ref name="C.L." />. réelle de ce système, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0}\;</math> : }}il nous faut donc rechercher une autre méthode de découplage et celle qui vient à l'esprit est la méthode « <u>par substitution</u> »<ref> Laquelle est aussi applicable dans les deux autres cas ; il est néanmoins préférable, quand c'est possible, de conserver la méthode « par C.L. réelle », plus rapide.</ref>{{,}}<ref> La méthode par substitution est rendue applicable car, dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> en <math>\;f_1(x)\;</math> l'autre fonction <math>\;f_2(x)\;</math> apparaît proportionnellement une seule fois <math>\;\big[</math>de même, dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> en <math>\;f_2(x)\;</math> l'autre fonction <math>\;f_1(x)\;</math> apparaît proportionnellement une seule fois<math>\big]\;\ldots</math></ref> : {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}de l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, on tire <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_1}{e_1}\;f_1(x)\;</math> que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : de }}l'équation différentielle découplée indépendante en <math>\;f_1(x)\;</math> suivante <math>\;\dfrac{1}{e_1}\;\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + \dfrac{c_1}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_2}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_1\;c_2}{e_1}\;f_1(x) = e_2\;f_1(x)\;</math> soit, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène<ref name="donc découplée et indépendante"> Donc découplée et indépendante.</ref> du 4^ème ordre en <math>\;f_1(x)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : après simplification et normalisation, }}«<math>\;\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + \left( c_1 + c_2 \right)\,\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \left( c_1\;c_2 - e_1\;e_2 \right)\,f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>»<ref> On aurait pu éliminer <math>\;f_1(x)\;</math> à partir de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène <math>\;\big(</math>donc découplée et indépendante<math>\big)\;</math> du 4^ème ordre en <math>\;f_2(x)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{d^4 f_2}{dx^4}(x) + \left( c_2 + c_1 \right)\,\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + \left( c_2\;c_1 - e_2\;e_1 \right)\,f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>il suffisait de permuter les indices «<math>\;_1\;</math>» et «<math>\;_2\;</math>» à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en <math>\;f_1(x)\big]</math>.</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante <math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math> en <math>\;f_1(x)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Méthode_de_recherche_d'une_(ou_de_deux_indépendantes)_solution(s)_particulière(s)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_(ou_deuxième)_ordre_homogène|méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et son prolongement à la « recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène ».</ref> nous conduit à <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^4 + \left( c_1 + c_2 \right)\,s^2 + \left( c_1\;c_2 - e_1\;e_2 \right) = 0</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’}}équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;s</math>, de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en <math>\;s^2</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;\color{transparent}{s}</math>, de discriminant }}<math>\Delta = \left( c_1 + c_2 \right)^2 - 4\,\left( c_1\;c_2 - e_1\;e_2 \right) = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0</math>, d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée <math>\;\underline{s}^2 = -\dfrac{c_1\! +\! c_2}{2} \pm i\,\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2} = -\dfrac{c_1\! +\! c_2}{2} \pm i\,\dfrac{\sqrt{-\left( c_1\! -\! c_2 \right)^2 - 4\,e_1\,e_2}}{2}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe"> En physique un complexe est repéré par un soulignement de la variable le représentant.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module <math>\;\rho\;</math><ref> Le module commun étant <math>\;\vert \underline{s} \vert = \dfrac{\sqrt{\left( c_1 + c_2 \right)^2 + \left[ -\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2 \right]}}{2} = \sqrt{c_1\;c_2 - e_1\;e_2}</math>, on rappelle qu'un complexe en physique est repéré par le soulignement de sa variable.</ref> et d'arguments distincts <math>\;\left\lbrace\begin{array}{r c r}\theta \!\!&\text{et}&\!\! \theta - \pi\\ -\theta \!\!&\text{et}&\!\! -\theta + \pi \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Dans la mesure où <math>\;c_1 + c_2\;</math> est <math>\;> 0</math>, les arguments de <math>\;\underline{s}^2\;</math> sont <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s}^2 \right] = \pm \left[ \pi - \arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right) \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s} \right] \equiv</math> <math>\pm \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right) \right]\!\!\!\pmod{\pi}</math> ; <br>{{Al|3}}dans la mesure où <math>\;c_1 + c_2\;</math> est <math>\;< 0</math>, les arguments de <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s}^2 \right]\;</math> sont <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s}^2 \right] = \pm \arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s} \right] \equiv</math> <math>\pm \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right)\!\!\!\pmod{\pi}</math>.</ref> <br />{{Al|14}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module <math>\;\color{transparent}{\rho}\;</math> et d'arguments }}deux à deux opposés soit <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes }}<math>\;\underline{s} = \rho\;\cos(\theta) \pm i\;\rho\;\sin(\theta)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> ou <math>\;\underline{s} = -\rho\;\cos(\theta) \pm i\;\rho\;\sin(\theta)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> et par suite <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la fonction <math>\;f_1(x)\;</math> s'écrit «<math>\;f_1(x) = A\;\exp\! \left[ \rho\;\cos(\theta)\;x \right]\;\cos\! \left[ \rho\;\sin(\theta)\;x + \varphi \right] + B\;\exp\! \left[ -\rho\;\cos(\theta)\;x \right]\;\cos\! \left[ \rho\;\sin(\theta)\;x + \psi \right]\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », méthode prolongée à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène sans terme du 3^ème et 1^er ordres.</ref> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la fonction <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> s'écrit «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}avec <math>\;A</math>, <math>\;B</math>, <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\psi\;</math> des constantes arbitraires d'intégration ; <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la détermination de la fonction <math>\;f_2(x)\;</math> se fait alors en reportant l'expression de <math>\;f_1(x)\;</math> dans <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_1}{e_1}\;f_1(x)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}<u>Exemple</u> : <math>\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = 2\;f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 3\;f_2(x) = -f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles" /> c'est-à-dire <math>\;c_1 = 1</math>, <math>\;c_2 = 3</math>, <math>\;e_1 = 2\;</math> et <math>\;e_2 = -1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = -4 < 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}le découplage de ce système d'équations différentielles par C.L<ref name="C.L." />. réelle échouant totalement, on procède au découplage « par substitution » : <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}de l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, on tire <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{1}{2}\;f_1(x)\;</math> que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : de }}l'équation différentielle découplée indépendante en <math>\;f_1(x)\;</math> suivante <math>\;\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + \dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{3}{2}\,\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{3}{2}\,f_1(x) = - f_1(x)\;</math> soit, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène<ref name="donc découplée et indépendante" /> du 4^ème ordre en <math>\;f_1(x)</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : après simplification et normalisation, }}«<math>\;\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + 4\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 5\;f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>»<ref> On aurait pu éliminer <math>\;f_1(x)\;</math> à partir de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène <math>\;\big(</math>donc découplée et indépendante<math>\big)\;</math> du 4^ème ordre en <math>\;f_2(x)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{d^4 f_2}{dx^4}(x) + 4\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 5\;f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>».</ref> ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante <math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math> en <math>\;f_1(x)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre" /> nous conduit à <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^4 + 4\;s^2 + 5 = 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’}}équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;s</math>, de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en <math>\;s^2</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;\color{transparent}{s}</math>, de discriminant }}<math>\Delta = \left( 4 \right)^2 - 4 \times 1 \times 5 = -4 < 0</math>, d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée <math>\;\underline{s}^2 = -2 \pm i = \sqrt{5}\;\exp \left\lbrace \pm i \left[ \pi - \arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="détermination de l'argument d'un complexe"> Pour déterminer l'argument du complexe voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module <math>\;\rho = \sqrt[4]{5}\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l'<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, }}d'arguments distincts, deux à deux opposés, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l'<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, }}<math>\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s} \right] \equiv \pm \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right]\!\!\!\! \pmod{\pi}\;</math> soit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes }}<math>\;\underline{s} = \left\lbrace \begin{array}{c} \sqrt[4]{5} \times \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \pm i \;\dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \\ -\sqrt[4]{5} \times \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \pm i \;\dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="simplification de sbarre"> <math>\;\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \sin\! \left[ \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>en effet posant <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{1}{2} = \dfrac{2\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}{1 - \tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) + 4\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) - 1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = -2 + \sqrt{5}\;</math> et <math>\;\sin\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = \tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)\;\cos\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}{\sqrt{1 + \tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\Bigg\}</math> ;<br>{{Al|3}}<math>\;\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \cos\! \left[ \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \dfrac{1}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>en effet posant <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right)\;</math> <math>\overset{\cdots}{\Rightarrow}</math> <math>\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = -2 + \sqrt{5}\;</math> et <math>\;\cos\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}} =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\Bigg\}</math>.</ref> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}«<math>\;f_1(x) = A\;\exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x + \varphi \right] + B\;\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x + \psi \right]\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}avec <math>\;A</math>, <math>\;B</math>, <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\psi\;</math> des constantes arbitraires d'intégration, ou encore, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}«<math>\;f_1(x) = A'\;\exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right] + B'\;\exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}<math>+ C'\;\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right] + D'\;\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}avec <math>\;A'</math>, <math>\;B'</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;D'\;</math> des constantes arbitraires d'intégration ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la détermination de la fonction <math>\;f_2(x)\;</math> se fait alors en reportant l'expression de <math>\;f_1(x)\;</math> dans <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{1}{2}\;f_1(x)</math> avec <math>\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) =</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;A' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>+ B' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>- C' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>- D' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) = A' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - \dfrac{A'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications"> En effet <math>\;\dfrac{\left( \sqrt[4]{5} \right)^2\;\left( \sqrt{5} - 2 \right)^2}{\left( \sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{5} \left( 5 + 4 - 4\;\sqrt{5} \right)}{10 - 4\;\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}}</math>, <br>{{Al|62}}{{Transparent|En effet }}<math>\;\dfrac{\left( \sqrt[4]{5} \right)^2\;\left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\left( \sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}} \right)^2} = \dfrac{5 - 2\;\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}\;</math> et <br>{{Al|62}}{{Transparent|En effet }}<math>\;\dfrac{\left( \sqrt[4]{5} \right)^2}{\left( \sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}}</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>- \dfrac{A'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>B' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \dfrac{B'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>+ \dfrac{B'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - B' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>C' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! +\! \dfrac{C'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>+ \dfrac{C'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! -\! C' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! +\! \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>D' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! -\! \dfrac{D'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>- \dfrac{D'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! -\! D' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\;</math><ref name="simplifications" /> ou <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) = A' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - bis"> En effet <math>\;\dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} \left( 9 - 4\;\sqrt{5} \right) - \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} \left[ 8 - 4\;\sqrt{5} \right] = \sqrt{5}\; \dfrac{4 - 2\;\sqrt{5}}{5 - 2\;\sqrt{5}} = \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>B' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>C' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>D' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\;</math><ref name="simplifications - bis" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications - ter"> En effet <math>\;\dfrac{4 - 2\;\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} + 1 = \dfrac{2 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = -1</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) =}</math> }}<math>- B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - ter" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) =}</math> }}<math>C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - ter" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) =}</math> }}<math>D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\;</math><ref name="simplifications - ter" /> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) \right] = \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \left\lbrace \dfrac{B' - A'}{2} \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \dfrac{B' + A'}{2} \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\! \right\rbrace +\! \cdots\;</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{f_2(x) = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) \right] =}</math> }}<math>\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \left\lbrace \dfrac{C' - D'}{2} \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \dfrac{C' + D'}{2} \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\! \right\rbrace\;</math><ref> <math>\;f_2(x)\;</math> et <math>\;f_1(x)\;</math> suivant la même équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène <math>\;\big(</math>donc découplée et indépendante<math>\big)\;</math> sans terme du 3^ème et 1^er ordres, il est donc logique de constater que <math>\;f_2(x)\;</math> a la même forme que <math>\;f_1(x)</math>, ces deux fonctions ne différant que par les constantes arbitraires achevant leur définition.</ref>. == Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général == === Présentation de l'exemple === {{Al|5}}Soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\\ \dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left( b\,,\,e \right) \in \left[ \mathbb{R}^{*} \right]^2\;</math> constantes connues et <math>\;\left\lbrace f_1\,,\, f_2\,,\, f_3 \right\rbrace\;</math> trois fonctions réelles de la variable réelle <math>\;x\;</math> à déterminer ; <br />{{Al|121}}on vérifie aisément que les équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right),\,\left( \mathfrak{3} \right) \right\rbrace\;</math> sont couplées car <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;f_1(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation }}fait intervenir les deux autres fonctions <math>\;f_2(x)\;</math> et <math>\;f_3(x)</math>, nécessitant de résoudre <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation fait intervenir }}les deux autres équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> pour être connues <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avant les 2^ème et 3^ème <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{2} \right),\,\left( \mathfrak{3} \right) \right\rbrace</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;f_2(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation }}fait intervenir les deux autres fonctions <math>\;f_3(x)\;</math> et <math>\;f_1(x)</math>, nécessitant de résoudre <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation fait intervenir }}les deux autres équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> pour être connues <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avant les 3^ème et 1^ère <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{3} \right),\,\left( \mathfrak{1} \right) \right\rbrace\;</math> et <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;f_3(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème équation }}fait intervenir les deux autres fonctions <math>\;f_1(x)\;</math> et <math>\;f_2(x)</math>, nécessitant de résoudre <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème équation fait intervenir }}les deux autres équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> pour être connues <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 3^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> avant les 1^ère et 2^ème <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> d'où <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>le couplage des trois équations différentielles. === Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées === {{Al|5}}Nous admettrons que le découplage complet<ref> Un découplage de trois équations différentielles couplées dépendant des trois fonctions cherchées <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x),\,f_3(x) \right\rbrace\;</math> est qualifié de complet si on trouve un système de trois équations différentielles de trois nouvelles fonctions <math>\;\left\lbrace F_1(x),\,F_2(x),\,F_3(x) \right\rbrace\;</math> dépendant des trois fonctions d'origine <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x),\,f_3(x) \right\rbrace</math>, chaque équation différentielle ne faisant intervenir qu'une nouvelle fonction, le nouveau système étant équivalent au système initial <math>\;\ldots</math></ref> du système d'équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\\ \dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> est impossible<ref> C'est assez prévisible compte-tenu du caractère non linéaire des équations différentielles ; <br>{{Al|3}}en absence de découplage seule une résolution numérique est possible <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|toutefois }}il est possible de trouver une relation entre les fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x) \right\rbrace\;</math> indépendante de <math>\;f_3(x)</math>, c'est ce que nous proposons de faire dans un 1^er temps. === Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées === {{Al|5}}Supposant au moins une des fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x) \right\rbrace\;</math> non identiquement nulle<ref> Si les deux fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x) \right\rbrace\;</math> étaient identiquement nulles, les équations différentielles du système seraient immédiatement découplées car il ne resterait que l'équation <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> selon <math>\;\dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_3^2(x)}\;f_3(x) = e</math>.</ref>, plus précisément supposons <math>\;f_2 \not\equiv 0\;</math> et <br />{{Al|5}}formons <math>\;f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;f_2(x) \left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_1(x) \right] - f_1(x) \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) \right] = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <br />{{Al|5}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;f_2(x)\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) - f_1(x)\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) = 0\;</math> soit, en divisant les deux membres par <math>\;f_2^2(x)\;</math> non identiquement nulle<ref> Il peut néanmoins exister des valeurs de <math>\;x\;</math> pour lesquelles <math>\;f_2(x)\;</math> serait nulle, ces valeurs seraient alors à retirer du domaine de définition de la fonction <math>\;f_2</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{f_2(x)\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) - f_1(x)\;\dfrac{d f_2}{dx}(x)}{f_2^2(x)} = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d\! \left( \dfrac{f_1}{f_2} \right)}{dx}(x) = 0\;</math> qui s'intègre en <math>\;\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)} = k\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;f_1(x) = k\;f_2(x)</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle d'intégration<ref name="k = 0"> <math>\;k = 0\;</math> correspondant à la fonction <math>\;f_1\;</math> identiquement nulle.</ref>; <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}les équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> se réécrivent alors <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} k\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) \!\!\!\!&-\, b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;k\;f_2(x) \!\!\!&= 0\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) \!\!\!\!&-\, b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) \!\!\!&= 0\end{array} \right\rbrace\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> les équations différentielles <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> se réécrivent }}selon une même équation différentielle <math>\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;</math> ou, <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> les équations différentielles <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> se réécrivent }}en introduisant la nouvelle fonction <math>\;F_2(x) = \sqrt{k^2 + 1}\;f_2(x)</math>, <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> les équations différentielles <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> se réécrivent }}selon l'équation différentielle <math>\;\dfrac{d F_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;F_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math><ref> En effet il suffit de multiplier de part et d'autre l'équation différentielle <math>\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;</math> par <math>\;\sqrt{k^2 + 1}\;</math> et d'introduire <math>\;F_2(x) = \sqrt{k^2 + 1}\;f_2(x)</math>.</ref> ; {{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> se réécrivant <math>\;\dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3}' \right)</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}le système des trois équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right),\,\left( \mathfrak{3} \right) \right\rbrace\;</math> en les trois fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x)\,,\, f_3(x) \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> le système des trois équations différentielles }}est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{2}' \right),\,\left( \mathfrak{3}' \right) \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> le système des trois équations différentielles est équivalent au système des deux équations différentielles }}en les deux fonctions <math>\;\left\lbrace F_2(x)\,,\, f_3(x) \right\rbrace\;</math> à savoir <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d F_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;F_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\\ \dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3}' \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;F_2(x) = \sqrt{k^2 + 1}\;f_2(x)\;</math> avec <math>\;k = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}</math>.</center> === Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x) === {{Al|5}}Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{2}' \right),\,\left( \mathfrak{3}' \right) \right\rbrace\;</math> est impossible, <br />{{Al|5}}en absence de découplage seule une résolution numérique est possible <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Utilisation_d'un_logiciel_de_calcul_numérique_pour_déterminer_le_mouvement_de_chute_freinée_de_l'objet_par_résistance_de_l'air_quadratique_ainsi_que_la_trajectoire_de_son_centre_d'inertie_et_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_ce_dernier|utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. == Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant == === Présentation de l'exemple === {{Al|5}}Soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis"> Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que sa dérivée 1^ère dans un 1^er membre, l'autre fonction <math>\;\big(</math>seule, sans ses dérivées<math>\big)\;</math> apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues et <math>\;\left\lbrace f_1\,,\, f_2 \right\rbrace\;</math> deux fonctions réelles de la variable réelle <math>\;x\;</math> à déterminer ; <br />{{Al|110}}on vérifie aisément que les équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> sont couplées car <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en <math>\;f_1(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation }}a un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de <math>\;f_2(x)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation a un 2^nd membre }}nécessitant de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> pour être connu <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avant la 2^ème <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en <math>\;f_2(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation }}a un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de <math>\;f_1(x)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation a un 2^nd membre }}nécessitant de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> pour être connu <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avant la 1^ère <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> d'où <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>le couplage des deux équations différentielles ; <br />{{Al|110}}<u>particularités supplémentaires du couplage</u> : <math>\blacktriangleright\;</math>même [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] «<math>\;\dfrac{d}{dx} + b \times\;</math>» s'appliquant sur <math>\;f_1(x)\;</math> ou <math>\;f_2(x)\;</math> <br />{{Al|111}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>même opérateur linéaire «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d}{dx} + b \times}\;</math>» }}dans le 1^er membre de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> ou <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : }}<math>\blacktriangleright\;</math>dépendance de l'« excitation » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> ou <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> relativement à <math>\;f_2(x)\;</math> ou <math>\;f_1(x)\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de }}la fonction n'intervenant pas dans le 1^er membre à savoir <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de }}<math>\succ\;</math>l'« excitation » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, équation en <math>\;f_1(x)</math>, dépend de <math>\;f_2(x)\;</math> <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'« excitation » de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}</math>, équation en <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}</math>, dépend }}selon «<math>\;a\;f_2(x)\;</math>» et <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de }}<math>\succ\;</math>l'« excitation » de <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, équation en <math>\;f_2(x)</math>, dépend de <math>\;f_1(x)\;</math> <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'« excitation » de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}</math>, équation en <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}</math>, dépend }}selon «<math>\;-a\;f_1(x)\;</math>» ; <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>remarque</u> : les « excitations » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math> sont souvent les deux 1^ères composantes d'un <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : }}produit vectoriel d'un vecteur <math>\;\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) = f_1(x)\;\vec{u}_x + f_2(x)\;\vec{u}_y\;</math> et <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel }}d'un autre vecteur <math>\;\vec{A} = a\;\vec{u}_z\;</math> soit <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel }}<math>\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) \wedge \vec{A} = \left[ f_1(x)\;\vec{u}_x + f_2(x)\;\vec{u}_y \right] \wedge \left[ a\;\vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel <math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) \wedge \vec{A}}</math> }}<math>= a\;f_1(x) \left[ \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z \right] + a\;f_2(x) \left[ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z \right]\;</math><ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Obtenu par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel }}<math>\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) \wedge \vec{A} = a\;f_2(x)\;\vec{u}_x - a\;f_1(x)\;\vec{u}_y\;</math> c'est-à-dire effectivement <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : }}les « excitations » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math> précédemment définies. === Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}Formant <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + \beta \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \alpha \left[ a\;f_2(x) + d \right] + \beta \left[ -a\;f_1(x) + e \right]\;</math> dans laquelle la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d \left[ \alpha\; f_1 + \beta\;f_2 \right]}{dx}(x) + b \;\alpha\; f_1(x) + b\;\beta\; f_2(x) = a\;\dfrac{\alpha}{\beta}\; \beta\; f_2(x) - a\;\dfrac{\beta}{\alpha}\; \alpha\;f_1(x) + \alpha\;d + \beta\;e\;</math> si <math>\;\left( \alpha\,,\, \beta \right)\;</math> est <math>\;\neq \left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> soit, avec <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\dfrac{d F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx}(x) = \left[ - a\;\dfrac{\beta}{\alpha} - b \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ a\;\dfrac{\alpha}{\beta} - b \right] \beta\; f_2(x) + \alpha\;d + \beta\;e\;</math>», le 2^nd membre s'écrivant en fonction de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)\;</math> si <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx}(x) = \left[ - a\;\dfrac{\beta}{\alpha} - b \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ a\;\dfrac{\alpha}{\beta} - b \right] \beta\; f_2(x) + \alpha\;d + \beta\;e)}\;</math>»,}}<math>\left[ - a\;\dfrac{\beta}{\alpha} - b \right] = \left[ a\;\dfrac{\alpha}{\beta} - b \right]\;</math><ref> La valeur <math>\;\alpha = 0\;</math> avait été interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\beta}{\alpha}</math>, si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait <math>\;a = 0\;</math> pour avoir une forme indéterminée mais <math>\;a \neq 0</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur <math>\;\beta = 0\;</math> interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait <math>\;a = 0\;</math> pour avoir une forme indéterminée mais <math>\;a \neq 0</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + 1 = 0\;</math> sans solution réelle d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'inapplicabilité de la méthode de découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le découplage de ce système « par substitution » est possible<ref name="découplage par substitution - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Recherche_d'une_autre_méthode_de_résolution_quand_le_découplage_par_combinaison_linéaire_réelle_a_totalement_échoué|recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué]] » plus haut dans le chapitre.</ref> mais en fait, il existe une méthode de découplage par C.L<ref name="C.L." />. complexe plus rapide, présentée ci-après<ref> C'est donc cette méthode de découplage qu'il faut privilégier et non la méthode de résolution « par substitution » laquelle s'avèrera toujours plus longue à mettre en œuvre que n'importe quelle méthode de découplage <math>\;\ldots</math>.</ref>. === Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système }}tel que le 1^er membre corresponde à l'action d'un même [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\mathcal{OL}\left[ \, \right]\;</math> sur l'une des fonctions <math>\;f_1(x)\;</math> ou <math>\;f_2(x)\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système tel que }}le 2^ème membre dépende linéairement de l'autre fonction <math>\;f_2(x)\;</math> ou <math>\;f_1(x)\;</math> avec des cœfficients de proportionnalité opposés <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système }}c'est-à-dire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{OL}\left[ f_1 \right](x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \mathcal{OL}\left[ f_2 \right](x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math> et <math>\;\left( d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^2\;</math> trois constantes connues, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c'est-à-dire }}toute tentative de découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle<ref name="mise en pratique du découplage par C.L." /> conduisant à l'équation algébrique du 2^ème degré <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + 1 = 0\;</math> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c'est-à-dire toute tentative de découplage par C.L. réelle conduisant à }}sans solutions réelles mais complexes <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right) = \pm\, i\;</math><ref> Condition pour que la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe exposée dans ce paragraphe soit effectif.</ref>. {{Al|5}}<u>Méthode de découplage par C.L<ref name="C.L." />. complexe du système d'équations couplées</u><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de découplage }}formant <math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)\;</math><ref name="justification de cette C.L."> Cette combinaison linéaire complexe trouve sa justification dans l'échec matérialisé dans le paragraphe précédent « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Vérification_de_l'inapplicabilité_de_la_méthode_de_combinaison_linéaire_réelle_pour_le_découplage_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_couplées|vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées]] » ayant établi que <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> devait suivre l'équation algébrique <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!2} + 1 = 0\;</math> d'où l'absence de solution réelle et par suite l'absence de combinaison linéaire réelle possible mais <math>\;\ldots\;</math> la présence de deux solutions opposées complexes <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta} = \pm i\;</math> conduit à deux combinaisons linéaires complexes possibles dont nous avons sélectionné celle correspondant à <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta} = -i</math>, plus précisément <math>\alpha = 1\;</math> et <math>\;\beta = i</math>.</ref>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]\;</math> où la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre s'écrit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où }}selon la dérivée 1^ère de la fonction complexe <math>\;\underline{F}(x)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où selon la dérivée 1^ère de }}<math>= f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math> telle que <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où selon la dérivée 1^ère de <math>\color{transparent}{=}</math> }}<math>\left\lbrace\begin{array}{l} f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right]\\ f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> }}où la somme des autres termes du 1^er membre s'écrit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où }}selon <math>\;b \left[ f_1(x) + i\;f_2(x) \right] = b\;\underline{F}(x)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> soit, au final, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = a\, \left[ f_2(x) - i \;f_1(x) \right] + \left[ d + i\;e \right]\;</math> où les fonctions réelles <math>\;\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace\;</math> du 2^nd membre ne devraient s'exprimer qu'au profit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = a\, \left[ f_2(x) - i \;f_1(x) \right] + \left[ d + i\;e \right]}\;</math> où }}de la fonction complexe <math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math> pour que la méthode aboutisse, soit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = a}\,</math> }}<math>\;\left[ f_2(x) - i \;f_1(x) \right] = \left[ -i^2\;f_2(x) - i \;f_1(x) \right] = -i \left[ f_1(x) + i\;f_2(x) \right] = -i\;\underline{F}(x)\;</math><ref> On rappelle que <math>\;i^2 = -1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 = -i^2</math>.</ref> C.Q.F.É<ref name="C.Q.F.É."> Ce Qu'il Fallait Établir.</ref>. d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = -i\;a\; \underline{F}(x) + \left[ d + i\;e \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right] \underline{F}(x) = \underline{E}\;</math>»<ref name="notation physique d'un complexe" /> avec <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right] \in \mathbb{C}\;</math> constante telle que <br />{{Al|15}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = -i\;a\; \underline{F}(x) + \left[ d + i\;e \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right] \underline{F}(x) = \underline{E}}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\underline{E} =}</math> }}<math>\left\lbrace\begin{array}{l} d = \Re e \left[ \underline{E} \right]\\ e = \Im m \left[ \underline{E} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> soit finalement <br />{{Al|11}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}le découplage par C.L<ref name="C.L." />. complexe du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> <br />{{Al|17}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le découplage par C.L. complexe du système d'équations différentielles couplées }}avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues <br />{{Al|11}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le découplage }}en l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre, a priori hétérogène, en <math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le découplage en }}«<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right]\, \underline{F}(x) = \underline{E}\;</math>»<ref name="notation physique d'un complexe" /> avec <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right] \in \mathbb{C}\;</math> constante, a priori non nulle. === Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\mathbb{C}</math>, «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right]\, \underline{F}(x) = \underline{E}\;</math>»<ref name="notation physique d'un complexe" /> avec <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right] \in \mathbb{C}\;</math> constante, a priori non nulle et <math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math> fonction complexe de variable <math>\;x\;</math> réelle c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}une équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène en <math>\;\underline{F}(x)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode exposée dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> s'étendant sans aucune modification dans <math>\;\mathbb{C}</math> ; <br>{{Al|3}}pour la détermination de la solution libre, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Méthode_de_recherche_d'une_(ou_de_deux_indépendantes)_solution(s)_particulière(s)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_(ou_deuxième)_ordre_homogène|méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre homogène]] » du même chapitre et <br>{{Al|20}}pour celle de la solution forcée, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] » du même chapitre <math>\;\ldots</math></ref>, l'excitation <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right]\;</math> étant une constante complexe : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution forcée</u> : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante <math>\;\big(</math>complexe<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « exemple d'un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\underline{F_{\text{forcée}}} = \underline{cste}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution forcée : }}<math>\cancel{\dfrac{d \underline{F_{\text{forcée}}}}{dx}(x)\; +}\; \left[ b + i\;a \right]\, \underline{F_{\text{forcée}}} = \underline{E}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{F_{\text{forcée}}} = \dfrac{\underline{E}}{b + i\;a} = \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution libre</u> : l'équation caractéristique <math>\;\underline{s} + \left[ b + i\;a \right] = 0\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="solution libre d'une équa diff lin à coef csts du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> admettant pour solution <math>\;\underline{s} = -\left[ b + i\;a \right]</math>, nous en déduisons la solution libre <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre : }}<math>\underline{F_{\text{libre}}}(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right]\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="solution libre d'une équa diff lin à coef csts du 1er ordre" /> avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe arbitraire d'intégration ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}<math>\bullet\;</math><u>expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène</u> : <math>\;\underline{F}(x) = \underline{F_{\text{libre}}}(x) + \underline{F_{\text{forcée}}}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>expression de la solution générale }}«<math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math>» avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe arbitraire d'intégration. === Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x) === {{Al|5}}Sachant que les solutions <math>\;\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace\;</math> du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> sont telles que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right]\\ f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace}\;</math> du système d'équations différentielles couplées }}<math>\;\underline{F}(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref> On a posé <math>\;\underline{A} = A\;\exp\! \left( -i\;\varphi \right)</math>.</ref> <math>= A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\exp\! \left[ -i \left( a\;x + \varphi \right) \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> où <br />{{Al|16}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace}\;</math> du système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\underline{F}(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}}\;</math> <math>\color{transparent}{=}</math>}}<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> sont des constantes réelles arbitraires <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions }}<math>\bullet\;</math><math>\;f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right] = A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\cos\! \left( a\;x + \varphi \right) + \Re e \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right]\;</math> <math>= A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\cos\! \left( a\;x + \varphi \right) + \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math><ref name="réécriture des solutions forcées"> En effet <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} = \dfrac{\left( d + i\;e \right)\,\left( b - i\;a \right)}{\left( b + i\;a \right)\,\left( b - i\;a \right)} = \dfrac{\left( b\;d + a\;e\right) + i \left( b\;e - a\;d \right)}{b^2 + a^2}\;</math> d'où <math>\;\Re e \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> et <math>\;\Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}</math>.</ref>{{,}}<ref name="réécriture des solutions forcées - bis"> Ce qu'il faut faire dans l'hypothèse où on ne voit pas la simplification de traitement consistant à multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur. <br>{{Al|20}}Si <math>\;\left( d\,,\, b \right)\;</math> sont <math>\;> 0\;</math> la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ;<br>{{Al|20}}si <math>\;d\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\left( e\,,\, b \right)\;</math> tous deux <math>\;> 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( d\,,\, e \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;b > 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;-\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;b\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\left( a\,,\, d \right)\;</math> tous deux <math>\;> 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;\dfrac{d + i\;e}{i \left( a - i\;b \right)} = -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( b\,,\, a \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;d > 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;-\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( b\,,\, a \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;d < 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{(-b) + i\;(-a)}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d < 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ \dfrac{(-d) + i\;(-e)}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d < 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ \dfrac{(-d) + i\;(-e)}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math>. <br>{{Al|3}}La discussion sur la détermination de l'argument du complexe <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> est faite en utilisant les propriétés exposées dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (d'un quotient de formes algébriques de complexes) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="simplification des résultats de la note 60"> Pour terminer il convient de mettre en accord les résultats des notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] » exposées plus haut dans ce paragraphe. <br>{{Al|20}}Si <math>\;\left( d\,,\, b \right)\;</math> sont <math>\;> 0\;</math> la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d}\;\dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;d\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\left( e\,,\, b \right)\;</math> tous deux <math>\;> 0</math>, la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right]\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma' = \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right]}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma') = \dfrac{d}{e}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \sin(\gamma')\;\cos(\delta) + \cos(\gamma')\,\sin(\delta) = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma') + \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma') + \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma')}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \sin(\gamma')\;\cos(\delta) + \cos(\gamma')\,\sin(\delta) = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma') + \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \dfrac{\dfrac{d}{e} + \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{e^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right]\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma' = \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right]}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma') = \dfrac{d}{e}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) - \sin(\gamma')\,\sin(\delta) = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) \left[ 1 - \tan(\gamma') \, \tan(\delta) \right]</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) - \sin(\gamma')\,\sin(\delta)}</math> }}<math>= \dfrac{1 - \tan(\gamma') \, \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma')}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \dfrac{1 - \dfrac{d}{e} \, \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{e^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( d\,,\, e \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;b > 0</math>, la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d} \, \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\,\vert d \vert + a\,e\,\dfrac{\vert d \vert}{d}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <br>{{Al|24}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + e \, a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{b\,\vert d \vert + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right]}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma') = \dfrac{d}{e}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{e^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\,e\,\dfrac{\vert d \vert}{d} - a\,\vert d \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <br>{{Al|44}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{e - a}{\sqrt{1 + d^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{b\,e\,\vert d \vert - a\,\vert d \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\,b\,</math> est <math>\,< 0\,</math> avec <math>\,\left( a\,,\, d \right)\,</math> tous deux <math>\,> 0</math>, la solution forcée de <math>\,f_1(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right]\,</math> où <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta' = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\,\color{transparent}{f_1(x)}\,</math> se réécrit <math>\,\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta'} = \dfrac{b}{a} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta') + \cos(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ \tan(\gamma) + \tan(\delta') \right] = \dfrac{\tan(\gamma) + \tan(\delta')}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta')}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta') + \cos(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ \tan(\gamma) + \tan(\delta') \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} + \dfrac{b}{a}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}} = \dfrac{a\;e + b\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\,f_2(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right]\,</math> où <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta' = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\,\color{transparent}{f_2(x)}\,</math> se réécrit <math>\,\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta'} = \dfrac{b}{a} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') - \sin(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ 1 - \tan(\gamma) \, \tan(\delta') \right] = \dfrac{1 - \tan(\gamma) \, \tan(\delta')}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta')}}\;</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') - \sin(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ 1 - \tan(\gamma) \, \tan(\delta') \right]}</math>}}<math>\bigg\{\!</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\!\bigg\}</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \dfrac{1 - \dfrac{e}{d} \, \dfrac{b}{a}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}} = -\dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( b\,,\, a \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;d > 0</math>, la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d} \, \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\,d + a\,e\;\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,d + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\,d + a\,e}{b^2 + a^2}\,</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + e \, a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{\vert b \vert\,d + a\,e\;\vert b \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,d + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\,</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, celle de <math>\,\color{transparent}{f_2(x)}\,</math> se réécrit <math>\,\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\;e - a\;d\;\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <br>{{Al|43}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{e - a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{\vert b \vert\;e - a\;d\;}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\,\left( b\,,\, a \right)\,</math> sont <math>\,< 0\,</math> avec <math>\,d < 0</math>, la solution forcée de <math>\,f_1(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\,</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \! \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \! \right\rbrace\,</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d}\,\dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\;\vert d \vert + a\;e\;\dfrac{\vert d \vert}{d}\,\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{\left( -b \right) \left( -d \right) + a\;e\; \left( -1 \right)^2}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{b\,d + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\,d + a\,e}{b^2 + a^2}\,</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d < 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + e \, a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{\vert b \vert\,\vert d \vert + a\,e\;\vert d \vert\,\vert b \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{\left( -b \right) \left( -d \right) + a\;e\; \left( -1 \right)^2}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\,</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}celle de <math>\,f_2(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\,</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \! \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \! \right\rbrace\,</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, <math>\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\,e\,\dfrac{\vert d \vert}{d} - a\,\vert d \vert\,\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{\left( -b \right)\,e\,\left( -1 \right) - a\,\left( -d \right)\,\left( - 1 \right)}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, celle de <math>\,\color{transparent}{f_2(x)}\,</math> se réécrit }}<math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math>.</ref> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\;\color{transparent}{f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right] =}</math> }}<math>\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> constantes réelles arbitraires d'intégration et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions }}<math>\bullet\;</math><math>\;f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right] = -A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right]\;</math> <math>= -A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math><ref name="réécriture des solutions forcées" />{{,}}<ref name="réécriture des solutions forcées - bis" />{{,}}<ref name="simplification des résultats de la note 60" /> ou encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\;\color{transparent}{f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right] = -A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right]}\;</math> }}<math>= A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \dfrac{a\;d - b\;e}{b^2 + a^2}\;</math> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\;\color{transparent}{f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right] =}</math> }}<math>\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration. === Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : on rappelle que le meilleur découplage du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> s'obtient par C.L<ref name="C.L." />. complexe<ref name="découplage par C.L. complexe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Exposé_de_la_méthode_de_découplage_par_combinaison_linéaire_complexe_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_couplées|exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : on rappelle }}qu'il est toujours possible de réaliser un découplage par substitution<ref name="découplage par substitution - bis" />, c'est néanmoins PLUS LONG. {{Al|5}}<u>Méthode de découplage par substitution<ref name="mal adaptée"> Mal adaptée.</ref>{{,}}<ref name="découplage par substitution - bis" /> du système d'équations couplées</u><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues : <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution }}de l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, on tire <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \dfrac{b}{a}\;f_1(x) - \dfrac{d}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) = \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x)\;</math> dont on reporte <br />{{Al|20}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution de l'équation différentielle couplée <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}</math>, on tire }}les deux expressions dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> soit <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution }}<math>\;\left[ \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) \right] + b\, \left[ \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \dfrac{b}{a}\;f_1(x) - \dfrac{d}{a} \right] = -a\;f_1(x) + e\;</math> ou, en ordonnant et normalisant, <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution }}«<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_1(x) = \left[ b\;d + a\;e \right]\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>» équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_1(x) = \left[ b\;d + a\;e \right]\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)}\;</math>» }}découplée et indépendante en <math>\;f_1(x)</math>, hétérogène<ref> On aurait pu éliminer <math>\;f_1(x)\;</math> à partir de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, on aurait obtenu <math>\;f_1(x) = -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - \dfrac{b}{a}\;f_2(x) + \dfrac{e}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) = -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) - \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x)\;</math> d'où par report dans l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, <math>\;\left[ -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) - \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) \right] + b\, \left[ -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - \dfrac{b}{a}\;f_2(x) + \dfrac{e}{a} \right] = a\;f_2(x) + d\;</math> soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre découplée et indépendante en <math>\;f_2(x)</math>, hétérogène «<math>\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_2(x) = \left[ b\;e - a\;d \right]\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>il suffisait de permuter les indices «<math>\;_1\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;_2\;</math>»,}} changer <math>\;a\;</math> en <math>\;-a\;</math> et permuter <math>\;d\;</math> et <math>\;e\;</math>à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en <math>\;f_1(x)\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante en</u><math>\;f_1(x)\;</math> «<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_1(x) = \left[ b\;d + a\;e \right]\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : sachant que <math>\;f_1(x) = f_{1,\,\text{libre}}(x) + f_{1,\,\text{forcée}}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution forcée</u><math>\;f_{1,\,\text{forcée}}</math> : cherchée sous la même forme que l'excitation c'est-à-dire forme constante<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution forcée<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}}}</math> : }}<math>\cancel{\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{forcée}}}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_{1,\,\text{forcée}}}{dx}(x)\; + }\left[ b^2 + a^2 \right]\,f_{1,\,\text{forcée}} = \left[ b\;d + a\;e \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution forcée<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}}}</math> : }}«<math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution libre</u><math>\;f_{1,\,\text{libre}}(x)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : solution de <math>\;\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{libre}}}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_{1,\,\text{libre}}}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_{1,\,\text{libre}}(x) = 0\;</math> dont <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}l'équation caractéristique est <math>\;s^2 + 2\;b\;s + \left[ b^2 + a^2 \right] = 0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}discriminant réduit <math>\;\Delta' = b^2 - \left[ b^2 + a^2 \right] = -a^2 < 0\;</math><ref name="discriminant réduit"> Lors de la résolution de l'équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;s</math>, <math>\;a\;s^2 + 2\;b\;s + c = 0</math>, le discriminant s'écrivant <math>\;\Delta = 4\;b^2 - 4\;a\;c\;</math> est encore égal à <math>\;4\;\Delta'\;</math> avec <math>\;\Delta' = b^2 - a\;c\;</math> définissant le discriminant réduit ; la discussion de l'existence de solutions réelles distinctes, de solution réelle double et de l'inexistence de solutions réelles portant sur le signe de <math>\;\Delta\;</math> se reporte sans modification sur le signe de <math>\;\Delta'</math>.</ref> d'où <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}absence de solution lors d'une résolution dans <math>\;\mathbb{R}</math>, toutefois dans <math>\;\mathbb{C}</math>, <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}existence de deux solutions complexes conjuguées «<math>\;\underline{s} = -b \pm i\;a\;</math>»<ref> Lors de la résolution, dans <math>\;\mathbb{C}</math>, de l'équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;\underline{s}</math>, <math>\;a\;\underline{s}^2 + 2\;b\;\underline{s} + c = 0</math>, les solutions s'écrivent en utilisant le discriminant réduit <math>\;\Delta' = b^2 - a\;c\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-discriminant_réduit-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} \text{si }\Delta'\;\text{est }> 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{b}{a} \pm \dfrac{\sqrt{\Delta'}}{a}\\ \text{si }\Delta'\;\text{est }= 0, &\underline{s}_{d} = -\dfrac{b}{a}\\ \text{si }\Delta'\;\text{est }< 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{b}{a} \pm i\;\dfrac{\sqrt{-\Delta'}}{a} \end{array} \right\rbrace</math>, cela résulte de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} \text{si }\Delta = 4\;\Delta'\;\text{est }> 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{2\;b}{2\;a} \pm \dfrac{\sqrt{4\;\Delta'}}{2\;a}\\ \text{si }\Delta = 4\;\Delta'\;\text{est }= 0, &\underline{s}_{d} = -\dfrac{2\;b}{2\;a}\\ \text{si }\Delta = 4\;\Delta'\;\text{est }< 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{2\;b}{2\;a} \pm i\;\dfrac{\sqrt{-4\;\Delta'}}{2\;a} \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : }}d'où «<math>\;f_{1,\,\text{libre}}(x) = A\;\exp(-b\;x)\;\cos(a\;x + \varphi)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_négatif,_solution_libre_pseudo-périodique|cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, avec <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : d'où «<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x) =}</math>}}<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> constantes réelles arbitraires d'intégration, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution générale</u><math>\;f_1(x)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;f_1(x) = f_{1,\,\text{libre}}(x) + f_{1,\,\text{forcée}} = A\;\exp(-b\;x)\;\cos(a\;x + \varphi) + \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math>», <br />{{Al|11}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution générale<math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) = f_{1,\,\text{libre}}(x) + f_{1,\,\text{forcée}} =}</math>}}<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> étant des constantes réelles arbitraires ; <br />{{Al|11}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution générale<math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> : }}en accord avec le résultat obtenu au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Explicitation_des_solutions_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_en_f1(x)_et_f2(x)|précédent]] ». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif|Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} hmwiyjsax9zg4j41ety0llopi3ic7e9 0 74280 986385 986384 2026-09-09T12:33:13Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986385 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} mbofi99bjh3jogiz633qa2jz4ov1uqz 986386 986385 2026-09-09T12:52:48Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986386 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} fb55yn1gfan43cxydlecjdj4ez1co8w 986387 986386 2026-09-09T12:53:41Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986387 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; {{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} t94a3qcd1uab2g0ynrkq14wo3z7fvkx 986388 986387 2026-09-09T12:54:14Z Phl7605 31541 /* Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) */ 986388 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\;\alpha(t)</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>».</center> === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} lnyaaz8srofhr39vnwpc4lbwm1ro2zg 986390 986388 2026-09-09T19:47:41Z Phl7605 31541 /* Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) */ 986390 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math><ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit >«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>». === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre</u> avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^ère définition d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\theta_1\;</math> est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements, {{Al|5}}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », <math>\;k\;</math> devant être substitué par <math>\;2\;C</math>.</ref>, la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) =</math> <math>A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit * <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_1 + A = \theta_0\;</math> d'où <math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math> et * <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\;t\;</math> se calcule selon <math>\;\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> {{Al|5}}finalement la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon <center>«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\;</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\;\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\;</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} e274y9e0wproz1fcnj0kpwygxveynpd 986391 986390 2026-09-10T01:57:34Z Phl7605 31541 /* Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » */ 986391 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math><ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit >«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>». === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre hétérogène sans terme du 1^er ordre</u> à excitation constante <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «<math>\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;</math>» <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que <math>\,\theta_1\,</math> est la solution forcée <math>\,\theta_{\text{forcée}}\,</math> de l'équation différentielle hétérogène <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti" />, <math>\,\theta_1\,</math> représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide <ref> Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <math>\,k\,</math> devant être substitué par <math>\,2\;C</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «<math>\;\color{transparent}{\omega_0}\;</math>» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>A\,</math> et <math>\,B\,</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,\theta_1 + A = \theta_0\,</math> d'où «<math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\,t\,</math> se calcule selon <math>\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où «<math>\;B = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\,</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\,\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\,</math> sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\,</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s’écrit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\;</math> quand l’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\;\nearrow\;</math> c.-à-d. quand <math>\;J_{\Delta_C} \nearrow\;</math> ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|finalement }}quand la constante de torsion des fils <math>\;C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} fruvgem7p3eikqm7qx2iksb702xcxvn 986401 986391 2026-09-10T08:35:50Z Phl7605 31541 /* Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » */ 986401 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math><ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit >«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>». === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre hétérogène sans terme du 1^er ordre</u> à excitation constante <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «<math>\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;</math>» <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que <math>\,\theta_1\,</math> est la solution forcée <math>\,\theta_{\text{forcée}}\,</math> de l'équation différentielle hétérogène <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti" />, <math>\,\theta_1\,</math> représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide <ref> Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <math>\,k\,</math> devant être substitué par <math>\,2\;C</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «<math>\;\color{transparent}{\omega_0}\;</math>» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>A\,</math> et <math>\,B\,</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,\theta_1 + A = \theta_0\,</math> d'où «<math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\,t\,</math> se calcule selon <math>\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où «<math>\;B = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\,</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\,\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\,</math> sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\,</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,</math> quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\,J_{\Delta_C} \nearrow\,</math> ce qui est réalisé <br>{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}en écartant les masselottes de l'axe <math>\,\Delta_C</math> <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}quand la constante de torsion des fils <math>\,C \searrow</math> <math>\;\bigg[</math>d'après le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » exposé plus haut dans ce chapitre «<math>\;C =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>»}} avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} kkupisncuzlv8ba3dfglbe0ylti58oj 986402 986401 2026-09-10T08:40:31Z Phl7605 31541 /* Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » */ 986402 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math><ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit >«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>». === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre hétérogène sans terme du 1^er ordre</u> à excitation constante <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «<math>\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;</math>» <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que <math>\,\theta_1\,</math> est la solution forcée <math>\,\theta_{\text{forcée}}\,</math> de l'équation différentielle hétérogène <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti" />, <math>\,\theta_1\,</math> représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide <ref> Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <math>\,k\,</math> devant être substitué par <math>\,2\;C</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «<math>\;\color{transparent}{\omega_0}\;</math>» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>A\,</math> et <math>\,B\,</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,\theta_1 + A = \theta_0\,</math> d'où «<math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\,t\,</math> se calcule selon <math>\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où «<math>\;B = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\,</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\,\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\,</math> sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\,</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,</math> quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\,J_{\Delta_C} \nearrow\,</math> ce qui est réalisé <br>{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}en écartant les masselottes de l'axe <math>\,\Delta_C</math> <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}quand la constante de torsion des fils <math>\,C \searrow</math> <math>\,\bigg[</math>comme «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>» <ref name="dépendance de la constante de torison"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <math>\;G\;</math> le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb"> Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} e5lsh3cog1pnstnz7y39g9z8q168ywq 986403 986402 2026-09-10T09:16:00Z Phl7605 31541 /* Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » */ 986403 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math><ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit >«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>». === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre hétérogène sans terme du 1^er ordre</u> à excitation constante <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «<math>\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;</math>» <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que <math>\,\theta_1\,</math> est la solution forcée <math>\,\theta_{\text{forcée}}\,</math> de l'équation différentielle hétérogène <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti" />, <math>\,\theta_1\,</math> représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide <ref> Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <math>\,k\,</math> devant être substitué par <math>\,2\;C</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «<math>\;\color{transparent}{\omega_0}\;</math>» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>A\,</math> et <math>\,B\,</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,\theta_1 + A = \theta_0\,</math> d'où «<math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\,t\,</math> se calcule selon <math>\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où «<math>\;B = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\,</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\,\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\,</math> sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\,</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,</math> quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\,J_{\Delta_C} \nearrow\,</math> ce qui est réalisé <br>{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}en écartant les masselottes de l'axe <math>\,\Delta_C</math> <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}quand la constante de torsion des fils <math>\,C \searrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> quand }}<math>\,\bigg[</math>comme «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>» <ref name="dépendance de la constante de torison"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <math>\;G\;</math> le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] <ref name="module de Coulomb"> Ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\;d\;</math> étant son diamètre et <math>\;\mathit{l}\;</math> sa longueur, on en déduit que «<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou encore quand le module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil «<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un module d'élasticité transversale <math>\;\big(</math>ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb<math>\big)\;</math> du matériau très faible <math>\;\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\;</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\;\big[</math>soit <math>\;\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\;\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} mx7purfnp2aw2ji25sgexfe6ftowy7b 986404 986403 2026-09-10T09:31:35Z Phl7605 31541 /* Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » */ 986404 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Notion de fil de torsion == {{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » <ref name="torsion"> Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale <math>\;\big(</math>différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion<math>\big)</math>.</ref>, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » <ref name="longitudinal"> C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.</ref> et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, <u>on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension</u> de « <u>fil sans torsion</u> » ; [[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]] {{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; {{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu <math>\,\big(</math>voir figure supérieure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «<math>\;+\;</math>» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée <math>\,\big(</math>voir figure inférieure ci-contre<math>\big)\,</math> et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil reste en l'état</u> c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un <u>fil sans torsion</u> », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>soit <u>le fil se détord</u> ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «<math>\;+\;</math>» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale <math>\,\big(</math>correspondant à une rotation des brins dans le sens «<math>\;-\;</math>»<math>\big)\;</math> également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » <ref name="évolution de la torsion"> Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale <math>\,\big(</math>en valeur absolue<math>\big)\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».</ref>, il s'agit alors d'« un <u>fil de torsion</u> ». == Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil == === Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » === {{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » <ref name="choix de solide"> Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation <math>\,;\big(</math>c.-à-d. le fil de torsion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur <math>\,\big(</math>l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «<math>\;2\;</math>» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion <math>\;\ldots</math></ref> étudié, puis {{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «<math>\;\alpha_0\;</math>» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>voir schéma ci-dessous représenté à un instant <math>\,t\,</math> avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion<math>\big)</math> ; [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\,t</math>]] {{Al|5}}sur ce schéma, «<math>\;A_0B_0\;</math>», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «<math>\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence <math>\,\big(</math>en fait l'extrémité fixe<math>\big)</math>, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue <math>\,\big(</math>donc l'extrémité {{Nobr|mobile<math>\big)\,</math>}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «<math>\;+\;</math>» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi * de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile <math>\,\big\{</math>exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}\,</math> ou * de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe <math>\,\big\{</math>exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »<math>\big\}</math>.</ref>, «<math>\;\alpha_0\;</math>» étant la valeur de «<math>\;\alpha(t)\,</math> à l'instant initial <math>\,t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide <math>\,\big(</math>représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache <math>\,C\,</math> de la tige aux fils<math>\big)\,</math> figurent sur le schéma : <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celles du fil de torsion supérieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{sup}}\,</math> et couple de torsion de moment <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,</math><ref name="distinction couple moment"> Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>», c'est évidemment à rectifier <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}<math>\bullet\;</math>celle du « fil sans torsion inférieur <math>\,\big[</math>tension du fil <math>\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;</math>» <ref> Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «<math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math><ref name="orientation du fil de torsion"> Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.</ref> » définit aussi le sens «<math>\;+\;</math>» des angles dans le plan horizontal passant par <math>\,C</math>, l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus est «<math>\;> 0\;</math>» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins"> Plus exactement dans le sens «<math>\;-\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;> 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,</math> et <br>{{Al|28}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «<math>\;+\;</math>» si l'angle de torsion est «<math>\;< 0\;</math>» <math>\,\big[</math>le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]</math>.</ref> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />. {| class="wikitable" width="100%" |{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant <math>\,t</math>, sous la forme <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <br>dans lequel «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est toujours de signe contraire à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le vecteur moment du couple de torsion «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> pour éviter la confusion avec une force, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de <math>\,C</math>, point d'attache du fil au solide<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «<math>\;\vec{T}_{\text{sup}}\;</math>» dont le vecteur moment par rapport à <math>\,C\,</math> étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «<math>\;\alpha = 0\;</math>», l'angle de torsion «<math>\;\alpha(t)\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> sur le schéma ci-dessus étant «<math>\;> 0\;</math>» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » <ref name="hélice droite ou gauche" /> <math>\,\big(</math>le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par <math>\,C\,</math> du fil de torsion supérieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «<math>\;-\;</math>» <ref name="condition du sens moins" /> dont le vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;</math>» est colinéaire et « de sens contraire à <math>\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="condition du sens moins" />, <math>\,\big[</math>c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,</math> tous deux notés <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;</math>»<math>\big]</math>. === Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion === {{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «<math>\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à l'angle de torsion <math>\,\alpha(t)\;</math><ref name="angle de torsion d'un fil" /> », le « cœfficient de proportionnalité étant <math>\,< 0\;</math>», « de valeur absolue notée <math>\,C > 0\;</math>» et appelée « <u>constante de torsion du fil</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,</math> avec <math>\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>», <br>«<math>\;C\;</math>» s’exprimant en «<math>\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;</math>» ou simplement en «<math>\;N \cdot m\;</math>» <ref name="rad unité non physique"> On rappelle que le «<math>\;rad\;</math>» n'étant pas une unité physique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres<math>\big)\,</math> mais une unité mathématique <math>\,\big(</math>c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible<math>\big)\,</math> il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion === {{Al|5}}En théorie la constante de torsion «<math>\;C\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\mathit{l}\;</math>», de diamètre «<math>\;d\;</math>» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}} <ref name="module de cisaillement"> Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].</ref> «<math>\;G\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale"> Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «<math>\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;</math>» avec «<math>\;E\,</math> [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]<math>\big)\;</math>» et «<math>\;\nu\;</math> [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «<math>\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;</math>» où «<math>\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,</math> est la contrainte imposée en <math>\,Pa</math>, <math>\,F\,</math> étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire <math>\,S\;</math>» et «<math>\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,</math> l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> s'exprime donc en <math>\,Pa</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar</math>, * le tungstène <math>\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,</math> et * le caoutchouc <math>\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar</math> ; {{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «<math>\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;</math>» de valeur toujours «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,5\;</math>» et souvent «<math>\;\simeq 0,3\;</math>» <math>\,\big\{</math>remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;\simeq 0\;</math>» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «<math>\;< 0\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «<math>\;-1\;</math>»<math>\big)\,</math> correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial <math>\,\big(</math>étonnant non !<math>\big)\big\}</math> ; quelques exemples : * l'acier <math>\,\nu_{\text{acier}} = 0,30</math>, * le tungstène <math>\,\nu_{W} = 0,19\,</math> et * le caoutchouc <math>\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50</math> ; {{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] <math>\,E\,</math> et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] <math>\,\nu\,</math> des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples : * l'acier <math>\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa</math>, * le tungstène <math>\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)\,</math> et * le caoutchouc <math>\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa</math> <math>\,\big(</math>correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]<math>\big)</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique <math>\,\big(</math>dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» d'un fil cylindrique de longueur «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;</math>», de diamètre «<math>\;\color{transparent}{d}\;</math>» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «<math>\;N \cdot m^{-2} = Pa\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>» }}se calcule par «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur <math>\;\mathit{l} = 1,0\;m\;</math> et de même diamètre <math>\;d = 0,20\;mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en acier «<math>\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite un couple de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en acier <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}moment «<math>\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;</math> relativement faible <math>\,\big(</math>d'où une grande sensibilité<math>\big)\,</math> mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en tungstène «<math>\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}nécessite un couple de moment «<math>\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,</math> approximativement deux fois plus grand que le précédent <math>\,\big(</math>d'où une sensibilité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en tungstène <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}approximativement deux fois plus faible que le précédent<math>\big)\;</math>»<math>\big\}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}<math>\bullet\;</math>pour un fil en caoutchouc «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" /> soit «<math>\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc }}<math>\;\big\{</math>valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion <ref name="angle de torsion d'un fil" /> de valeur absolue «<math>\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;</math>» nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un fil en caoutchouc <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}un couple de moment «<math>\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,</math> quasi nul <math>\,\big(</math>d'où une très faible sensibilité<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le fil peut être considéré sans torsion »<math>\big\}</math>. == Présentation du pendule de torsion (non amorti) == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\,\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\,\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>» est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à <math>\,O_{\text{sup}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}</math> }}<math>= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"/> de «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}</math> }}<math>= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> == Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) == === Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion === {{Al|5}}La tige étant homogène, de masse <math>\,m_{\text{tige}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{tige}}</math>, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice <math>\,\Delta_C\,</math> de celle-ci s’écrit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse <math>\,m_{\text{masselotte}}</math>, de rayon <math>\,R_{\text{masselotte}}\,</math> et de longueur <math>\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}</math>, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe <math>\,\Delta_G\; \parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C</math>, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> de la masselotte considérée et <math>\,\perp\,</math> à l'axe de révolution de cette dernière <ref name="axe de révolution de la masselotte"> L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].</ref> s’écrit «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie <math>\,\big(</math>ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de <math>\,C\,</math> à la distance <math>\,x</math>, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe <math>\,\Delta_C\,</math> se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » <ref name="théorème de Huygens"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;</math>» d'où «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>» ; {{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive <ref name="grandeur additive"> Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble <math>\,\big(</math>disjoint<math>\big)\,</math> de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.</ref> on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> des fils de torsion soit «<math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math>». === Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\,\theta_0 > \theta_1\;</math><ref name="précision sur la C.I."> Nous supposerons que <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,<\,</math> à <math>\,2\;\theta_1\,</math> de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit <math>\,t</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si <math>\,\theta_0\,</math> était <math>\,>\,</math> à <math>\,2\;\theta_1</math>, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^ère fois à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,</math> en <math>\,\searrow</math>, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant <math>\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,</math> tel que <math>\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math> à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si <math>\,\color{transparent}{\theta_0}\,</math> était <math>\,\color{transparent}{>}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{2\;\theta_1}</math>, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique <math>\,\big(</math>ce qui est bien ce que nous avons considéré<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où <math>\,\theta_1\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <ref name="justification de la position d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\,\big(</math>toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où <math>\,\color{transparent}{\theta_1}\,</math> est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,t\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\theta(t)</math> <math>\,\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> par son abscisse angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion"> Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil supérieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}<math>\bullet\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,=\,</math> «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> à la date <math>\,t</math>, le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide « tige + masses » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'angle de torsion du fil inférieur étant <math>\,\color{transparent}{=}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;</math>» à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, un couple de torsion de moment }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les autres actions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\,C</math>, celui de chaque masselotte lequel est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\,C</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion"> Initialement quand «<math>\;\theta_1 < \theta_0 < 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] > 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>»}} de valeur absolue <math>\,C\;\theta_0\,</math> plus grande que le précédent car <math>\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] > 0\,</math> on en déduit une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}si initialement on imposait «<math>\;\theta_0 > 2\;\theta_1\;</math>», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «<math>\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] < 0\;</math>» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «<math>\;- C\;\theta_0 < 0\;</math>», la valeur absolue du 2^ème <math>\,C\;\theta_0\,</math> étant plus grande que celle du 1^er <math>\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,</math> car <math>\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 > 0</math>, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «<math>\;-\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de <math>\,\theta_0\,</math> relativement à <math>\,2\;\theta_1</math> <math>\,\big[</math>en fait il ne dépend que du placement de <math>\,\theta_0\,</math> par rapport à <math>\,\theta_1\,</math> et comme <math>\,\theta_0\,</math> est <math>\,>\,</math> à <math>\,\theta_1\,</math> le sens initial de rotation est le sens «<math>\;-\;</math>», il serait le sens «<math>\;+\;</math>» si on choisissait <math>\,\theta_0 <\,</math> à <math>\,\theta_1\big]</math>.</ref> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur"> Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil inférieur sans <math>\,\big(</math>ou avec<math>\big)\,</math> torsion.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures" />, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«<math>\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;</math>» <ref name="justification de l'angle de torsion" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;</math>» à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C</math> nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> soit encore «<math>\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)</math> «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>». == Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation == <center>Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</center> === Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) === {{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math><ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sous la forme «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à <math>\,\alpha_0 > 0\;</math><ref name="repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en <math>\,\alpha(t)\,</math> déterminée précédemment «<math>\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;</math>» <ref name="mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par <math>\,J_{\Delta_C}\,</math> soit >«<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>». === Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » === {{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre hétérogène sans terme du 1^er ordre</u> à excitation constante <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « <u>oscillateur harmonique non amorti</u> » <ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «<math>\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;</math>» <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que <math>\,\theta_1\,</math> est la solution forcée <math>\,\theta_{\text{forcée}}\,</math> de l'équation différentielle hétérogène <ref name="forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti" />, <math>\,\theta_1\,</math> représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide <ref> Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «<math>\;\omega_0\;</math>» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> étant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <math>\,k\,</math> devant être substitué par <math>\,2\;C</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «<math>\;\color{transparent}{\omega_0}\;</math>» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «<math>\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme"> La solution libre pourrait encore être écrite selon «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>A\,</math> et <math>\,B\,</math> se déterminant à l’aide des C.I. <ref name="C.I." /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,\theta_1 + A = \theta_0\,</math> d'où «<math>\;A = \theta_0 - \theta_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «<math>\;\color{transparent}{\theta(t) =}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\,B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="vitesse angulaire"> En effet la vitesse angulaire à l'instant <math>\,t\,</math> se calcule selon <math>\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)</math>.</ref> d'où «<math>\;B = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec ces C.I. <ref name="C.I." /> « abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position"> La solution transitoire «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<math>\big\}\,</math> ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » <math>\,\big(</math>en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math>» <math>\,\big\{</math>ou «<math>\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;</math>»<math>\big\}\,</math> sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité<math>\big)\,</math> mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; <br>{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}<math>\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,</math> quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » <math>\,J_{\Delta_C} \nearrow\,</math> ce qui est réalisé <br>{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}en écartant les masselottes de l'axe <math>\,\Delta_C</math> <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,x \nearrow\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> }}quand la constante de torsion des fils <math>\,C \searrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> quand }}<math>\,\bigg[</math>comme «<math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;</math>» <ref name="dépendance de la constante de torison"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <math>\;G\;</math> le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] <ref name="module de Coulomb"> Ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> quand <math>\,\color{transparent}{\bigg[}</math>}}matériau composant le fil de torsion <ref name="module d'élasticité transversale" />, <math>\,d\,</math> son diamètre et <math>\,\mathit{l}\,</math> sa longueur, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> quand <math>\,\color{transparent}{\bigg[}</math>}}«<math>\;C \searrow\;</math>» quand le diamètre du fil «<math>\;d \searrow\;</math>» ou quand sa longueur «<math>\;\mathit{l} \nearrow\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> quand <math>\,\color{transparent}{\bigg[}</math>«<math>\;\color{transparent}{C \searrow}\;</math>» }}quand le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] <ref name="module de Coulomb" /> du matériau composant le fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,</math> quand <math>\,\color{transparent}{\bigg[}</math>«<math>\;\color{transparent}{C \searrow}\;</math>» quand }}«<math>\;G \searrow\;</math>» <ref name="module d'élasticité transversale" />{{,}} <ref name="cas d'un module de Coulomb tendant vers 0"> Ainsi, avec un [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] <math>\,\big(</math>ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]]<math>\big)\,</math> du matériau très faible <math>\,\big\{</math>par exemple en choisissant du caoutchouc<math>\big\}\,</math> la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande <math>\,\big[</math>soit <math>\,\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\,</math> quand <math>\,G \rightarrow 0</math>, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant <math>\,\big\{</math>un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]<math>\big\}\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref><math>\bigg]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on notera l’<u>isochronisme des oscillations</u> <ref name="isochronisme d'un oscillateur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique. {{Al|5}}<u>Exemple numérique</u> : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale <ref name="module de Coulomb" /> <math>\;G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;</math><ref name="module d'élasticité transversale" />, de diamètre <math>\;d = 0,50\;mm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l} = 0,50\;m</math>, sa constante de torsion <math>\;C\;</math> est évaluée à <math>\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\;</math> soit «<math>\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse <math>\;m_{\text{tige}} = 100\;g</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle <math>\;m_{\text{masselotte}} = 150\;g</math>, de rayon <math>\;R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\;</math> et de longueur <math>\;\mathit{l}_{\text{masselotte}} =</math> <math>3,0\;cm</math>, positionnées symétriquement, de part et d'autre de <math>\;\Delta_C</math>, à la distance <math>\;x = 10\;cm</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\;</math> d'après le caractère additif du moment d'inertie <ref name="grandeur additive" /> avec <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;</math><ref name="moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice"/> <math>= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide}} <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;</math><ref name="moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution" />{{,}} <ref name="théorème de Huygens" /> donnant numériquement <math>\;0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide <math>\;J_{\Delta_C}\;</math> est évalué selon <math>\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;</math>» ;}} {{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math> soit numériquement <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. <ref name="C.I." /> de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à <math>\;\alpha_0 > 0</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>abscisse}} angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil inférieur sans ou avec torsion<math>\big)\;</math> et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule"> En effet <math>\;\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> dans laquelle <math>\;A\;</math> se détermine par <math>\;\alpha(0) = \alpha_0\;</math> soit <math>\;A = \alpha_0\;</math> et <br>{{Al|25}}avec <math>\;\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> {{Al|6}}<math>\;B\;</math>{{Transparent| se détermine }}par <math>\;\dot{\alpha}(0) = 0\;</math> soit <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math> ou <math>\;B = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> par rapport à celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en <math>\;\alpha(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;</math>», on en déduit la pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;</math>» <ref name="pulsation propre" /> puis la période propre d'oscillation «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;</math>», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «<math>\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>» <ref name="justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule" />{{,}} <ref name="correction nécessaire de la loi horaire de position" /> <math>\;\big(</math>numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)</math>. == Complément, pendule de torsion amorti == [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] === Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti === {{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton <math>\;\big(</math>ou autre matériau<math>\big)\;</math> positionnées perpendiculairement à leur déplacement <math>\;\big(</math>c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant<math>\big)\;</math> voir figure ci-contre en vue de dessus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut faire un « enregistrement » <ref> Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.</ref> par oscilloscope numérique <math>\;\big(</math>le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes<math>\big)\;</math> à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente <math>\;\big(</math>la position angulaire <math>\;\theta = \theta_1\;</math> correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle<math>\big)</math>, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math> : {{clr}} [[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Description de l'interfaçage</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math><ref name="alimentation stabilisée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref> plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci <ref name="limitation du courant délivré par l'A.S."> Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.</ref>, une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension <math>\;\propto\;</math> à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «<math>\;\theta(t) - \theta_1\;</math>». === Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes === {{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile <math>\;\big(</math>ou dans un liquide plus ou moins visqueux <ref> À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées <math>\;\ldots</math></ref> immobile<math>\big)\;</math> sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible <ref name="condition des faibles vitesses"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point <math>\;M_i\;</math> situé à la distance orthogonale <math>\;r_i\;</math> de l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\;</math> de l'air vers la glycérine<math>\big\}\;</math> ainsi que de la densité de ce dernier <math>\;\big\{</math>par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol<math>\big\}\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point <math>\;M_i\;</math> d'axe <math>\;\Delta_C\;</math> orienté par le 3^ème vecteur <math>\;\vec{u}_{\Delta_C}\;</math> de la base. <br>{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St =</math> <math>10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''George Gabriel Stokes (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> ; {{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> de rotation, chaque point <math>\;M_{i,\,1}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)\;</math> ayant un symétrique <math>\;M_{i,\,2}\;</math> de l'ailette <math>\;\left( 2 \right)\;</math> de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces <ref name="couple"> Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire <ref name="somme de couple"> En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples <math>\;\big[</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> le nombre de points matériels de l'ailette <math>\;\left( 1 \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( 2 \right)\big]\;</math> soit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="justification du moment scalaire d'un couple de deux forces"> Les deux forces de frottement fluide <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;</math> opposées tendent à faire tourner le couple <math>\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\;</math> dans le même sens ;<br>{{Al|3}}notant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace</math>, de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> valeur commune qui est <math>\;< 0\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> se fait dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;> 0\;</math> s'il se fait dans le sens <math>\;-</math> ; <br>{{Al|3}}le bras de levier de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;</math> étant <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\;</math> et celui de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})</math>, <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\;</math> avec <math>\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right] = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) =</math> <math>2\;r_i</math> <math>\;\big(r_i\;</math> étant la distance orthogonale commune de <math>\;M_{i,\,1}\;</math> ou <math>\;M_{i,\,2}\;</math> à <math>\;\Delta_C\big)\;</math> et <math>\;\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;</math> on en déduit <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_C\;</math> s'écrivant selon <center>«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;H\;</math> une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» <br>{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, <br>{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et <br>{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.</center> === Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C</math>, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> sont respectivement <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]</math>, <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;</math> et <math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="référence paramètres"> Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » <ref name="justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis"> C.-à-d. le poids de la tige appliqué en <math>\;C</math>, celui de chaque ailette lequel est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, nous conduit à {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} =</math>}} <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) =</math> <math>J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» à résoudre avec les mêmes C.I. <ref name="C.I." /> que celles du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre <ref name="comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion" /> et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)</math> <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit enfin, en normalisant, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;</math>» c.-à-d. l'équation différentielle d'un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » <ref name="oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>. === Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple <math>\;m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g</math>, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe <math>\;\Delta_C\;</math> avec le moment d'inertie de la tige par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> selon «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math>» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Réduction canonique</u> : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir <ref name="réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur <math>\;k\;</math> du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils <math>\;2\;C</math>, la masse <math>\;m\;</math> du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie <math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;</math> de la tige par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> et l'allongement total du ressort <math>\;x'\;</math> par l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tige.</ref> : * la pulsation propre du pendule «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>dont on déduit «<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, * le cœfficient d'amortissement du pendule «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» soit «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;</math>» ou <br>le facteur de qualité du pendule «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>» <br>ou «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«<math>\;\theta(t) =</math>}} <math>\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;</math>» <ref name="solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation" />, * la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «<math>\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;</math>» <ref name="solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et * la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» <ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de <math>\;\sigma\;</math><ref name="résolution de l'équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1\;</math><ref name="solution libre pseudo-périodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>pseudo-périodique</u> de « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» correspondant à une « pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>» <math>\;> \mathcal{T}_0</math> <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math>» est la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]</math>, <math>\;\big(</math>la pseudo-période <math>\;\mathcal{T}\;</math> s'écartant d’autant plus de la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> que le cœfficient d’amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de <math>\;1\big)</math>, la forme de la solution libre étant «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires, <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="solution libre apériodique critique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique critique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires et <br>{{Transparent|la solution libre}}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1\;</math><ref name="solution libre apériodique"> Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension <math>\;u_C(t)\;</math> devant être remplacée par l'élongation angulaire <math>\;\theta(t)</math>.</ref> la solution libre est <u>apériodique</u> de forme «<math>\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre <math>\;\big(</math>ou la valeur de <math>\;\sigma\big)</math>, la forme suivante : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma < 1</math> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un <u>amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math>, <u>amortissement exponentiel de constante de temps</u> <math>\;\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}</math>, la pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> des pseudo-oscillations {{Nobr|<math>\bigg[</math>avec}} <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;</math> période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti<math>\bigg]\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est proche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma = 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;\sigma > 1</math> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I. <ref name="C.I." />, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un <u>un retour direct à la valeur d'équilibre</u> <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1</math> <math>\;\big[</math>retour direct dans la mesure où la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse est <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\big]</math>, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que <math>\;\sigma\;</math> est grand. {{Al|5}}<u>Diagrammes temporelles de position angulaire</u> : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(t)\;</math> par <math>\;\theta(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math> par <math>\;\theta(0^{-}) = \theta_0 > \theta_1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}<math>\;u_C(\infty) = E = 1\;V\;</math> par <math>\;\theta(\infty) = \theta_1</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant|Loi du moment cinétique : Pendule pesant]] }} rx6t12sc6x80ooxjvqhylhqv0el8jjo 104 78623 986406 986289 2026-09-10T10:45:40Z Guillaume FOUCART 39841 /* Construction */ 986406 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour P_{3}]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} h5wdb6u20l7d8sen03j61ug2ft04fd2 986407 986406 2026-09-10T10:51:30Z Guillaume FOUCART 39841 /* Construction */ 986407 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 2ayxta7n2eenlexvkewyhb2l17jm20o 986408 986407 2026-09-10T11:04:12Z Guillaume FOUCART 39841 /* Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur \R^n, pour n \in \N^* */ 986408 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. et alors : <math>{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]).}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} qmkr2milge54pkgnvegji07cwtwhcma 986409 986408 2026-09-10T11:12:40Z Guillaume FOUCART 39841 /* Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur \R^n, pour n \in \N^* */ 986409 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. et alors : <math>{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} qpqev7ucp6twnpo93ji1oscz33gik9e 986410 986409 2026-09-10T11:16:15Z Guillaume FOUCART 39841 /* Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur \R^n, pour n \in \N^* */ 986410 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. Et alors : <math>{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} t4zhigpqwenm415c7ovq61p7idyfovj 986413 986410 2026-09-10T11:42:43Z Guillaume FOUCART 39841 /* Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur \R^n, pour n \in \N^* */ 986413 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})</math>. <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement normal (de <math>A</math>) <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]</math> plafonnement (de <math>A</math>) tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. On pose alors : <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus, <math>A</math> est bornée et <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> tel que <math>P_{1}</math> ou <math>P_{2}</math> ou <math>P_{3}</math> ou <math>P_{4}</math> où <math>P_{1}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, compacte de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{2}</math> : “<math>A</math> partie convexe, strictement ouverte de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{3}</math> : “<math>A</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée de <math>\R^{n}</math>” <math>P_{4}</math> : “<math>A</math> partie convexe, à la fois ouverte et fermée de <math>\R^{n}</math> et <math>\forall i\in I,A_{i}</math> partie convexe, ouverte, bornée de <math>\R^{n}</math>” [Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour <math>P_{3}</math>]. Et alors : <math>{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, Alors : <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math> et <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 9h0qtd5z241bp9avomt9g2av0auk3tr 4 80727 986392 986217 2026-09-10T04:51:48Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 986392 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-09-07T06:32:08Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! Gadget !! data-sort-type="number" | Nombre d’utilisateurs !! data-sort-type="number" | Utilisateurs actifs |- |Accessibility || 27 || 1 |- |AdvancedContribs || 44 || 1 |- |AncreTitres || 32 || 3 |- |Barre de luxe || 46 || 2 |- |CoinsArrondis || 96 || 0 |- |DeluxeHistory || 121 || 2 |- |EditZeroth || 4 || 1 |- |FastRevert || 35 || 4 |- |FlecheHaut || 56 || 1 |- |HotCats || 94 || 4 |- |JavascriptHeadings || 18 || 1 |- |LeftPaneSwitch || 7 || 0 |- |LiveRC || 30 || 1 |- |OngletGoogle || 30 || 2 |- |OngletPurge || 100 || 7 |- |OptimizedSuivi || 16 || 0 |- |Popups || 39 || 1 |- |RenommageCategorie || 28 || 1 |- |ResizeGalleries || 81 || 1 |- |RestaurationDeluxe || 47 || 2 |- |ResumeDeluxe || 112 || 3 |- |RevertDiff || 32 || 2 |- |SisterProjects || 31 || 3 |- |Smart patrol || 5 || 2 |- |ZoomOnThumb || 31 || 1 |- |monBrouillon || 43 || 4 |- |recentchangesbox || 9 || 0 |- |searchFocus || 17 || 0 |- |searchbox || 31 || 2 |- |social-networks || 13 || 1 |} * [[Spécial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,27,1 AdvancedContribs,44,1 AncreTitres,32,3 Barre de luxe,46,2 CoinsArrondis,96,0 DeluxeHistory,121,2 EditZeroth,4,1 FastRevert,35,4 FlecheHaut,56,1 HotCats,94,4 JavascriptHeadings,18,1 LeftPaneSwitch,7,0 LiveRC,30,1 OngletGoogle,30,2 OngletPurge,100,7 OptimizedSuivi,16,0 Popups,39,1 RenommageCategorie,28,1 ResizeGalleries,81,1 RestaurationDeluxe,47,2 ResumeDeluxe,112,3 RevertDiff,32,2 SisterProjects,31,3 Smart patrol,5,2 ZoomOnThumb,31,1 monBrouillon,43,4 recentchangesbox,9,0 searchFocus,17,0 searchbox,31,2 social-networks,13,1 --> 9hq5w7nzlbc44jnsrjnx0giuttpy9ov